امروزه حجم عظیمی از مطالعات پزشکی در جهت شناسایی و درمان بیماری هایی است که از طریق ژن منتقل می شود. برای بررسی و نگهداری اطلاعات ژنتیکی، فناوری های مفیدی به وجود آمده است که یکی از ‎‎‎آن ها‏، فناوری ریزآرایه می باشد. تجزیه و تحلیل اطلاعات به دست آمده از ریزآرایه ها به کمک روش های داده کاوی انجام می شود. یکی از این روش ها خوشه بندی است که می تواند در یافتن گروه های واقعی و نهفته در داده ها موثر باشد. همچنین با استفاده از روش های کاهش بعد می توان مجموعه داده هایی با حجم کوچک تر از مجموعه داده های اصلی تولید کرد و آن را به عنوان ورودی روش خوشه بندی به کار برد. در این رساله از تجزیه ی ماتریس نامنفی‎‎‎‎ (nmf)‎ ‎‎ برای کاهش بعد داده های ریزآرایه استفاده می شود. همچنین برای مقداردهی اولیه این تجزیه روش های تصادفی‏، تحلیل مولفه اصلی ‎(‎pca)‎‎ و تجزیه ی مقدار تکین مضاعف نامنفی ‎(‎nndsvd)‎‎ به کار می رود. پس از آن با ‎‎‎به کارگیری روش ‎$ ‎k‎ $‎-متوسط داده های کاهش یافته‏ خوشه بندی می گردد. تحلیل های انجام شده در این تحقیق نشان می دهد که ‎خوشه بندی داده های حاصل از nmf+pca نتایج بهتری را ارائه می دهد‎.

در مسئله ی جریان بیشینه، ما به دنبال ارسال بیشترین مقدار جریان از یک رأس مبدأ به یک رأس مقصد در یک گراف هستیم، با در نظر گرفتن این محدودیت که جریان در هیچ کمانی نمی تواند از ظرفیت آن کمان فراتر رود. در این پایان نامه، مسئله ی جریان بیشینه را در گراف های مسطح بررسی می کنیم. برای این منظور، الگوریتمی مورد مطالعه قرار می گیرد که این مسئله را در زمان (o(n log n حل می کند. ما همچنین الگوریتمی از مرتبه ی زمانی (o(n log n برای یافتن یک جریان بیشینه در یک گراف مسطح را بررسی می کنیم که در آن علاوه بر کمان ها، رئوس نیز دارای ظرفیت می باشند.

گراف ها ابزاری نیرومند برای مدل سازی بسیاری از شبکه ها ی حسگر بی سیم، انرژی و عصبی هستند. بحث انتشار سیگنال و پردازش آن در بسیاری از شبکه ها مطرح است. بنابراین می توان پردازش سیگنال در این شبکه ها را به پردازش سیگنال در پراف های متناظر با این شبکه ها گسترش داد. عملگرهای ضریب فوریه گراف، یکی از عملکرهای خطی مهم در پردازش سیگنال روی گراف هاست. دیوید شومن در سال 2011 روش جدیدی برای محاسبه این عملگرها در سیگنال های جمع آوری شده توسط شبکه های حسگر بی سیم بر اساس جندچمله ای های چبیشف نوع اول ارائه کرده است. خاصیت بازگشتی در این چندجمله ای ها سبب می شود که محاسبات موردنیاز در پردازش سیگنال روی گراف ها به صورت توزیع شده انجام شود. در این پایان نامه پس از معرفی مفاهیم موردنیاز، به بررسی این روش و مقایسه آن با دیگر چندجمله ای های متعامد از جمله چندجمله ای های چبیشف نوع دوم و چندجمله ای های لژاندر پرداخته خواهد شد.همچنین کاربرد این عملگرها در حذف نویز، هموار کردن و فیلتر کردن معکوس مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در پایان نمونه پیاده سازی شده ای برای حذف نویز به صورت توزیع شده با استفاده از تقریب چندجمله ای های متعامد ارائه خواهد شد.

فرض کنید مجموعه $p$ شامل $n$ نقطه در صفحه، دو محور مختصات و یک تابع امتیازدهی $f$ که به هر زیرمجموعه از $p$ یک مقدار حقیقی نسبت می دهد، داده شده است. مسأله مستطیل بهینه مسطح عبارت است از پیدا کردن یک مستطیل $h$ (هم تراز با محورهای مختصات) به طوری که مقدار $f(hcap p)$ را بیشینه کند. ما در مسأله، $f$ را تابعی یکنوا و تجزیه پذیر در نظر گرفته ایم. یعنی تابع ترکیب دو متغیره $g$ که در هر دو متغیر یکنوا است وجود دارد به قسمی که برای هر $a$ زیرمجموعه $p$ و هر بخش ${a_1,a_2}$ از $a$ داشته باشیم: $f(a)=g(f(a_1),f(a_2))$. در این پایان نامه یک راه حل برای مسأله مستطیل بهینه مسطح بررسی می کنیم که در بدترین حالت در $o(n^2log n)$ ترکیب امتیاز و مقایسه مختصاتی قابل انجام باشد، و در رده های دیگر از موارد تعریف شده توسط اقدامات مختلف برای مسأله بسیار کم تر است. یک نتیجه جانبی از این پژوهش، ساختمان داده کاملاً پویای درخت extit{splay mcs} است که از حذف و درج همراه با خاصیت انگشت پویا پشتیبانی می کند، که این نتایج بر اساس بهبود نتایج قبلی است.

‏برای مجموعه نقاط ‎$ ‎p‎ $‎‏ در فضای ‏‎$ ‎‎mathbb{‎r}^d‎‎ $‏،‎ یک تجزیه زوج از ‎$ ‎p‎ $‎‏‏، مجموعه ای مانند ‎$ ‎‎mathcal{w}‎‎ $‎‏‏ است که شامل زوج هایی از زیرمجموعه های ‎$ ‎p‎ $‎‏ است‏، به طوری که برای هر دو نقطه ی ‎$ ‎p,qin ‎p‎ $‏‏، ‎‏یک‎‎ زوج مانند‎‎‎‎ ‎$ ‎(‎mathcal{x},‎mathcal{y})in ‎‎mathcal{w}‎ $‎ ‎‏وجود‎ دارد که ‎$ ‎pin ‎‎mathcal{x}‎ $‎ و ‎‎$ ‎qin‎mathcal{y}‎ $‎‎‎‎‎ یا ‎$ ‎pin ‎‎mathcal{y}‎ $‎‏ و ‎$ qin ‎‎mathcal{‎x}‎ $‎‏ است. تجزیه نقاط به زوج های نیم مجزا‏، تجزیه زوجی است که در آن فاصله ی بین دو مجموعه نقطه در هر زوج‏،‏ نسبت به ضریبی از قطر مجموعه ی کوچک تر‏، بزرگ تر است. در این پایان نامه‏، روش های ساخت تجزیه نقاط به زوج های نیم مجزا‏ برای‏ یک مجموعه از ‎$ ‎n‎ $‎‏ نقطه در صفحه و در فضای ‎$ ‎‎mathbb{r}^d‎ $‎‎‎‏، و تعدادی از کاربردهای آن‏، مورد مطالعه قرار می گیرند؛ در جدیدترین روش ساخت‏، هر نقطه در تعداد کمی زوج (‎‎ $ ‎‎mathcal{o}(‎‎log n) $‏ زوج‎‎) ظاهر می شود‏ که این ویژگی در روش های ساخت قبلی وجود ندارد.

با توجه به کاربرد گراف ها برای مدل سازی بسیاری از ساختارها در علوم مختلف از جمله ریاضی، شیمی، بیوانفورماتیک و‎...، تولید گراف از اهمیت ویژه ای برخوردار است. منظور از تولید یک کلاس خاص از گراف ها، ارائه الگوریتمی قابل اجرا است که همه ی گراف های موجود در آن کلاس را تولید کند. تولید کلاس های متعددی از گراف ها مانند کلاس فولرین ها، نانوتیوب ها، گراف های مکعبی و ...، تا به امروز مورد مطالعه قرار گرفته است. گراف مکعبی یا سه منظم گراف (ساده ای) است که درجه هر رأس آن $ 3 $ است. این پایان نامه به توضیح الگوریتم جدیدی می پردازد که می تواند همه گراف های مکعبی همبند غیریکریخت را تولید نماید. برنامه نوشته شده براساس این الگوریتم، 4 برابر سریع تر از برنامه هایی که در گذشته برای تولید گراف های مکعبی همبند غیریکریخت وجود داشته است، عمل می کند. اسنارک یک گراف مکعبی رنگ ناپذیر با کمر حداقل 5 است، که به طور دوری 4-یال همبند باشد. برنامه نوشته شده براساس الگوریتم جدید، 14 بار سریع تر از برنامه هایی که قبلاً برای تولید اسنارک ها استفاده می کردند، عمل می کند. پیش گراف های مکعبی، گراف های مکعبی هستند که مجموعه یا ل های آن شامل طوقه، نیم یال و یال چندگانه می‎ باشد. پیش گراف ها حداقل در دو زمینه گراف های نوع متقارن و گراف های ولتاژ کاربرد دارند. در این پایان نامه، الگوریتم های تولید گراف های مکعبی، پیش گراف های مکعبی و یک کلاس خاص از گراف های مکعبی به نام اسنارک ها مورد مطالعه قرار گرفته است.

در مسئله طولانی ترین مسیر، هدف یافتن یک مسیر با بیشترین تعداد راس در یک گراف داده شده است. این مسئله‎‎ یک نسخه ی بهینه سازی از مسئله مسیر همیلتونی است‎.‎ . تاکنون تنها برای تعداد اندکی کلاس از گراف ها الگوریتم چندجمله ای برای مسئله طولانی ترین مسیر ارائه شده است. یک گراف مقایسه پذیری است اگر بتوان روی مجموعه رئوس این گراف یک ترتیب جزئی تعریف کرد؛ بطوریکه هر دو راس مجاور در گراف در این ترتیب قابل مقایسه باشند. یک گراف را مقایسه ناپذیری گویند‏، اگر مکمل آن یک گراف مقایسه پذیری باشد. گراف جایگشتی‏، گراف اشتراک پاره خطهای محصور بین دو خط موازی است. گراف جایگشتی که دوبخشی باشد را یک گراف جایگشتی دوبخشی می نامند. در فصل اول بعد از تعاریف مقدماتی مانند تعاریف مربوط به گراف‏، رابطه دودویی و ترتیب جزئی‏، تعاریف دقیق و کامل گراف های مقایسه ناپذیری‏ و جایگشتی دوبخشی را بیان می کنیم. در فصل دوم به بیان و بررسی الگوریتم ارائه شده برای مسئله طولانی ترین مسیر در گراف های مقایسه ناپذیری می پردازیم. این الگوریتم یک الگوریتم برنامه ریزی پویا است که در آن از یک ترتیب بندی خاص روی رئوس استفاده می شود. کلاس گراف های جایگشتی دوبخشی زیرمجموعه ی کلاس گراف های مقایسه ناپذیری است. در فصل سوم به بیان الگوریتم یافتن طولانی ترین مسیر در گراف های جایگشتی دوبخشی می پردازیم. این الگوریتم با تجزیه گراف جایگشتی دوبخشی‏ به زیرگراف های کوچکتر یک طولانی ترین مسیر از گراف را محاسبه می کند.

گراف های متناظر با مولکول های فولرن‎،‎ گراف های مسطح‎،‎ سه منتظم و سه همبندی هستند که همه ی وجه های آن ها پنج ضلعی و شش ضلعی است‎.‎ جدیدترین الگوریتم برای تولید گراف های متناظر با فولرن ها در سال ‎2012‎ ارائه شده است‎.‎ اجرای این الگوریتم ‎3/5‎ برابر سریع تر از پرسرعت ترین تولیدکننده ی قبلی فولرن ها یعنی فولجن است و اولین برنامه بعد از فولجن است که برای تولید فولرن های با بیش از ‎100‎ راس مفید است‎.‎ در این پایان نامه این الگوریتم مورد مطالعه و بررسی قرار می گیرد‎.‎ نانو لوله‎ نیز نوع خاصی از فولرن است که ساختار استوانه ای شکل دارد و از دو قسمت بدنه و کلاهک تشکیل شده است‎.‎ ساختار بدنه ی نانولوله وابسته به ساختار کلاهک است‎.‎ در این پایان نامه به بررسی نتایج یک الگوریتم کارا برای تولید کلاهک های نانولوله ها می پردازیم‎.‎ این الگوریتم در سال ‎1999‎ توسط برینکمن ارائه شده است‎.‎

مسئله جریان با هزینه مینیمم ‎ (mcf)(minimum cost flowدر یک شبکه که تعدادی از رئوس، دارای مقداری موجودی از یک کالا و تعدادی دیگر متقاضی مقداری از همان کالا هستند و برای هر یال مقادیری برای حداقل و حداکثر کالای عبوری و هزینه عبور یک واحد کالا مشخص شده است، به دنبال پیدا کردن جریانی از آن کالا است که در کران های داده شده برای میزان جریان برای یال ها صدق کند، تقاضای رأس ها را برآورده کند و کمترین هزینه را داشته باشد‎.‎ %در مسئله ‎mcf‎ فرض بر این است که جریان ورودی به یک یال با جریان خارج شده از آن یال برابر است. توسیعی از مسئله ‎mcf‎ با نام مسئله جریان با هزینه مینیمم تعمیم یافته gmcf) generalized minimum cost flow‎ بیان شده که در این مسئله مقدار جریان روی یک یال با تاثیر یک ضریب به صورت خطی افزایش و یا کاهش می یابد. یک توسیع ویژه از مسئله ‎ gmcf $‎، مسئله جریان با هزینه مینیمم تعمیم یافته با کران پایین متغیر ‎(gmcf-vlb) (generalized minimum cost flow with variable lower bound)‎ است، که برای هر یال جریان عبوری می تواند صفر باشد و یا از حداقل میزان مجاز داده شده، کمتر نباشد. این مسئله برای اولین بار در سال ‎2010‎ مطرح شده و از لحاظ تئوری و کاربردی از اهمیت بالایی برخوردار است. ثابت شده است که این مسئله، یک مسئله ‎- np‎سخت است و تاکنون کسی موفق به ارائه الگوریتم کارا برای این مسئله نشده است‎.‎ در این پایان نامه مسئله ‎(gmcf-vlb) ‎ بصورت دقیق بیان و مورد مطالعه قرار می گیرد. علاوه بر این مسائل جریان با هزینه مینیمم با کران پایین متغیر ‎ (mcf-vlb)‎ و مسئله جریان ماکزیمم با کران پایین متغیر ‎ (mf-vlb)‎ که هر دو حالت خاصی از مسئله ‎ gmcf-vlb ‎ هستند مورد مطالعه قرار می گیرد و نتایج موجود برای حل این مسئله ها در شرایط مختلف بیان و بررسی می شود.

احاط هگر ها، یکی از مباحثمهم در نظریه ی گراف ها، محسوب می شود. احاطه گر در نظریه ی گراف دارای کاربرد های فراوانی نظیر مسائل جانمایی در دنیای واقعی است. یکی از انواع احاط هگر ها، احاطه گر رنگین کمان است. f : v (g)

مسئله ی جریان با کمترین هزینه یکی از مسائل پرکاربرد و معروف روی شبکه های جریان است. در این مسئله‎‏،‎ یک گراف جهت دار داده شده که کمان های آن ‎‎مقادیر مثبت جریان انتقال می دهند و برای عبور هر واحد جریان‏، هزینه ای در نظر گرفته شده است. هدف‏، پیدا کردن جریان در کمان ها با هزینه کلِ کمینه است. تعمیم های متعددی برای حالت استاندار این مسئله وجود دارد. در مسئله جریان متناسب که تعمیمی از مسئله ی جریان با کمترین هزینه است، مجموعه هایی از کمان های شبکه داده شده و نیاز است جریان در کمان های هریک از مجموعه ها نسبت به هم متناسب باشند. برای این مسئله الگوریتم هایی مبتنی بر الگوریتم سیمپلکس وجود دارد که در این پایان نامه به بیان و بررسی دقیق این الگوریتم ها پرداخته می شود.