ابتداvnl-حلقه را بعنوان تعمیم مشترکی از حلقه های موضعی ومنظم تعریف وسپس به توصیف vnl-حلقه های آبلی،نیم کامل وvnl-لقه هایی که شامل عنصر خودتوانeهستند به طوری کهereحلقه بخشی نباشد،پرداخته ایم.

چکیده این پایان نامه در چهار فصل تنطیم شده است. فصل اول مفاهیم اولیه مورد نیاز از جمله بعد گلدی، بعد کرول، و بعد نویتری (دوگان بعد کرول) بیان شده است. به دلیل بررسی دقیق تر دوگان بعد گلدی، در فصل2 به آن پرداخته ایم. در این فصل ابتدا مفاهیم اولیه زیرمدول های کوچک، خانواده های هم مستقل و... وقضایای مربوط به آن ها را به تفصیل بیان کرده و سپس به معرفی دوگان بعد گلدی می پردازیم ورابطه بین مدول های با بعد خارج قسمت متناهی ومدول هایی که هر زیرمدول آن دارای دوگان بعد گلدی متناهی است را بیان می کنیم. در فصل3 به توصیف خصوصیت های مدول های با بعد کرول حداکثر? و شرایطی که تحت آن مدول های با بعد خارج قسمت متناهی و نیز مدول هایی که هر زیرمدول آن دارای دوگان بعد گلدی متناهی است، آرتینی خواهد بود را بررسی می کنیم. در فصل4 سعی شده دوگان برخی از مطالب فصل3 را بیان کرده وبه توصیف ویژگی های مدول های با بعد نویتری حداکثر? بپردازیم.

به بررسی شرایطی می پردازیم که یک حلقه تعویض پذیر را بتوان در یک حلقه موضعی نشانند. این موضوع منجر به یافتن شرایطی می شود که تحت آن ها یک حلقه شبه موضعی به وسیله یک حلقه موضعی محاط می شود. هم چنین این موضوع منجر به بررسی توسیع های میدان مانده ای یک حلقه شبه موضعی نیز خواهد شد. چندین نتیجه را درباره محاط شدن یک حلقه شبه موضعی صفر بعدی که قابل نشاندن در یک حلقه نوتری باشد. به وسیله یک حلقه آرتینی محاط می شود

تاکنون تعداد قابل توجهی شرط کافی برای همیلتنی بودن گراف های همبند با n رأس ثابت شده است. از مشهورترین آن ها می توان به شروط دیراک( 1952 )( اگر?(g)?n/2) و اُور(1960)( برای هر دو رأس نامجاورِ uوv ، d(u)+d(v)?n) اشاره کرد. پس از آن، فَن(1984) این دو شرط را گسترش داد و ثابت کرد که اگر g، ساده و 2-همبند با n رأس باشد و برای هر جفت رأس نامجاورِ xوy که d(x,y)=2، داشته باشیم: max{d(x),d(y)}? n/2، g همیلتنی است. چِن(1993) نشان داد که اگر g، ساده و 2-همبند با n رأس و نامعادله ی max{d(x),d(y)}? n/2، برای هر دو رأس نامجاور x وy، با این شرط که رابطه ی زیر برقرار باشد؛ 1 ?|n(x) ? n(y)|? ?(g) –1، آن گاه g همیلتنی است. در سال 1996، چِن، اِگوا، لیو و سایتو نشان دادند با فرض اینکه g، k-همبند و دارایn رأس باشد، اگر به ازای هر رأس از مجموعه ی مستقل s ازg با ?s?= k، که s دارای دو رأس متمایز x وy با d(x,y)=2 است، دستورِ زیر برقرار باشد، آن گاه g، همیلتنی است. max{d(v)?v ? s}? n/2 کوین ژائو، هونگ-جین لاین و یهونگ شائو با توسیع قضایایِ بالا ثابت کرده اند که اگر gگرافی ساده وk -همبند باشد و اگر به ازای هر رأس از مجموعه ی مستقل s ازg، با |s|=k، که s دارای دو رأس متمایز x وy با خاصیتِ 1 ?|n(x) ? n(y)|? ?(g) –1 است، دستورِ زیر برقرار باشد، آن گاه g، همیلتنی است. max{d(v): v ? s}? n/2