گروه های خطی در نظریه گروه ها نقش اساسی دارند. لذا مطالعه خواص و ویژگیهای آنها مورد توجه است. حدوداً از سال 2005 تحقیقاتی گسترده بین دو رشته نظریه گروه ها و نظریه گراف انجام می گیرد که باعث پیشرفت هر دو رشته گشته و در بعضی موارد با کمک قضایا و نتایج یکی , مسایلی در دیگری به جواب می رسد. برای اولین بار در سال 1975 پ.اوردش به هر گروه دلخواه یک گراف بصورت زیر نظیر کرد: گرافی که مجموعه رئوس آن عناصر غیر مرکزی گروه است و دو عضو x و y تشکیل یک یال می دهند در صورتی که xy و yx مساوی نباشند. این گراف را گراف ناجابجایی گروه می نامند. شاخص های زیادی در نظریه گراف معرفی شده اند. بخصوص شاخص های عدد خوشه ای و عدد رنگی. شاخص های مهم دیگری نیز معرفی شده اند که کاربردهایی در سایر علوم دارند از جمله شاخص های وینر , سگد , زاگرب و گریز از مرکز. شاخص های وینر و سگد برای گراف ناجابجایی گروه تصویری خطی خاص با بعد 2 روی میدانی با q عضو که q همنهشت با 0( به پیمانه 4 ) می باشد محاسبه شده است. در این رساله شاخص های عدد خوشه ای , وینر , سگد و شاخص های زاگرب اول , دوم و سوم را برای گراف ناجابجایی گروه های دو وجهی , کواترنیون و( psl(2,q که q همنهشت با 1 و q همنهشت با 3 به پیمانه 4 است محاسبه می کنیم . همچنین نشان می دهیم گراف ناجابجایی گروه های فوق در حدس اتوگرافیکس صدق می کنند. در پایان یک فرمول کلی برای محاسبه شاخص گریز از مرکز گراف ناجابجایی هر گروه متناهی ناآبلی ارایه می دهیم.

یک شاخص توپولوژیک برای گرافg ‎، ثابت عددی است که کمیتی فیزیکی یا شیمیایی را توصیف می کند. این اعداد در شیمی نظری به منظور کدگذاری مولکول ها برای طراحی اجسام شیمیایی با خواص فیزیکی-شیمیایی داده شده و فعالیتهای زیستی و داروشناسی به کار می روند. شاخص سگد در سال ‎1994‎ توسط ایوان گوتمن به عنوان تعمیمی از شاخص وینر تعریف شد. کاربردهای این شاخص در مدل سازی ساختارهای نانو و همبستگی آن با برخی شاخص های دیگر و خواص فیزیکی-شیمیایی مولکول ها باعث شد تعدادی از محققین به فکر شاخص های توپولوژیکی دیگر مرتبط با این شاخص بپردازند. شاخص اصلاح شده سگد یکی از شاخص هایی است که اخیراً و در این ارتباط توسط راندیک تعریف شد. بعدها ریاضیدانی اسلوونیایی به نام پیزانسکی و ریاضیدانی چینی به نام زو مطالعات جدی تری روی این شاخص انجام دادند. در این تحقیق دسته های نامتناهی از گراف های فولرنی را در نظر گرفته و شاخص اصلاح شده سگد آن ها را محاسبه می کنیم. یافتن نقاط فرینه این شاخص در دسته های متنوعی از گراف های همبند هدف دیگر این تحقیق است.

qsarqspar فرایندی است که به وسیله آن ساختار شیمیایی را به صورت کمی با یک فرآیند مانند فعالیت بیوتکنولوژی یا واکنش پذیری شیمیایی مرتبط می شود. هدف از این پژوهش، محاسبه شاخص همبندی اتم باند و یافتن نقاط فرینه برای گراف های تک دوری، دو دوری سه دوری و چهار دوری و گراف های شبه درخت است و محاسبه این شاخص برای تعدادی دندریمر است. در پایان شاخص زاگرب نوع اول و دوم را برای گراف های سه دوری و چهار دوری بررسی کرده ایم.

شاخص توپولوژیک عددی حقیقی است که به یک گراف نسبت داده می شود و تحت یک ریختی گراف ثابت می ماند. شاخص های توپولوژیک برای بررسی خواص فیزیکی-شیمیایی ترکیبات شیمیایی به کار می روند. شاخص ‎ pi ‎ در مقاله ای در سال ‎2009‎ در تلاش جهت یافتن رابطه ای دقیق برای محاسبه ی شاخص ‎ pi ‎ رأسی حاصل ضرب دکارتی گراف ها معرفی شد. بعدها کاربردهای فراوانی از این شاخص در علوم نانو و شیمی به دست آمد. مطالعه ی ریاضی این شاخص از کارهایی است که اخیراً توسط اشرفی، یوسفی، ایلیچ، دیودی، استوانویچ و گوتمن به انجام رسیده است. در این تحقیق شاخص ‎ pi ‎ رأسی یک دسته ی نامتناهی از گراف های فولرنی را به دست می آوریم. هم چنین زنجیر و پیوند ‎ n ‎ نسخه از این فولرن را در نظر گرفته و شاخص ‎ pi ‎ رأسی آن ها را محاسبه می کنیم. ‎

فرض کنیم ‎$g$‎ یک گروه متناهی و ‎$‎x‎subseteq‎‎ g$‎ باشد. گراف جابه جایی ‎$c(g,x)$‎ عبارت است از گرافی با مجموعه رئوس ‎$x$‎ به طوری که برای هر ‎$x,yin x$‎، ‎$xy$‎ یال است اگر و تنها اگر ‎$xy = yx$‎. این گراف به طرق گوناگون بررسی شده است. در این جا دو حالت ‎$c(g,g)$‎ و ‎$c(g,g setminus z(g))$‎ را در نظر می گیریم. هدف ما بررسی ساختار، ویژگی های متریک و خواص گروه خودریختی های این گراف هاست. علاوه بر این برای گروه متناهی ‎$g$‎، گراف توان ‎$p(g)$‎ را گرافی با مجموعه رئوس ‎$g$‎ در نظر می گیریم که دو راس ‎$x,y in g$‎ تشکیل یال می دهند اگر وتنها اگر ‎اعداد طبیعی ‎‎$‎n‎$‎ و ‎$‎‎‎m‎$‎ ‎‎‎ ‎‎ ‎‎‎موجود باشد که ‎$x=y^n$‎ یا ‎$y=x^m$‎. برای گراف توان خواصی مانند عدد رنگی، عدد استقلال و ... را بررسی می کنیم و در پایان به برخی خواص متریک گراف های ملکولی نانودندریمرها می پردازیم.

شاخص کیرشهف در گراف‎ بر حسب فاصله مقاومت‎ بین دو رأس ‎‎‎ تعریف می شود. در این پایان نامه شاخص کیرشهف برخی از اعمال گراف ها و همچنین شاخص کیرشهف گراف کیلی مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین عمل جدیدی روی گراف ها به نام توان داخلی گراف را مطالعه کردیم و شاخص های زاگرب نوع اول و دوم‏، ‎هم‎ شاخص های زاگرب نوع اول و دوم و عدد دوبخشی سازی یالی این عمل را به دست آوردیم.به علاوه ثابت کرده ایم که توان داخلی دوم یک گراف دوبخشی حاوی سه مولفه است که یکی دوبخشی و دوتای دیگر یکریخت و غیر دوبخشی هستند.

مطالعه گشتاورهای طیفی یک گراف یکی از مباحث اصلی و کلاسیک در نظریه جبری گراف است. شروع مطالعات در زمینه گشتاور طیفی یک گراف، به مسائلی از سوتکویچ و رولینسون در سال 1987 باز می گردد و کاربرد متنوعی از این مطالعات را می توان در مقالاتی که اخیراً به چاپ رسیده است ملاحظه کرد. یکی از اهداف این پایان نامه ارایه ماکسیمم و ماکسیمم دوم گراف ها از مجموعه همه گراف های شبه درخت از مرتبه n براساس گشتاورهای طیفی آن ها است. همچنین در این تحقیق با استفاده از گشتاورهای طیفی گراف پترسن تعمیم یافته از مرتبه 2n و گشتاورهای طیفی i-گراف ها، این دو دسته از گراف ها را مرتب می کنیم. مرتب کردن گراف های نسر-جانسون و گراف های q-نسر-گراسمن براساس گشتاور طیفی یکی دیگر از اهداف پایان نامه است.

در این پایان نامه گراف های سرپینسکی, سرپینسکی تعمیم یافته نوع اول و دوم, مثلث سرپینسکی و مثلث سرپینسکی 2-پارامتری مورد مطالعه قرار گرفته است و به تحلیل برخی از خواص این نوع گراف ها می پردازیم.

گراف های بسیار نامنظم در سال 1987 توسط یوسف علوی و همکارانش معرفی شدند. آنها بعضی از خواص این گراف ها مانند عدد استقلال و دنباله درجات را مطالعه کردند. در سال 2013 سایمون ماک و بی گراف های به طور ماکسیمال نامنظم را تعریف کردند. (گرافهایی که تعداد درجات متمایز در دنباله درجات آن برابر ماکسیمم درجه رئوس گراف است). او ثابت کرد که تمام گرافهای بسیار نامنظم به طور ماکسیمال نامنظم هم هستند. ما در این پایان نامه، برخی روابط بین گراف های بسیار نامنظم و گراف های به طور ماکسیمال نا منظم را مطالعه می کنیم. در خاتمه تعدادی کران برای تعداد یال های این نوع از گراف ها ارائه می شوند.

نظریه گراف مطالعه ای بر روی گراف هاست که توسط ساختارهای ریاضی برای نشان دادن ارتباط دو به دوی بین اشیا مورد استفاده قرار می گیرد.‎‎ ‎در این پایان نامه به معرفی گراف های میانی و ارتباط آن ها با ابرمکعب ها پرداخته ‎‎می شود‎.‎ به علاوه مفهوم مکعب های فیبوناتچی و برخی از ویژگی های این مکعب ها را‎‎‎‎ نیز‎‎‎ مورد مطالعه قرار می دهیم. در این راستا با مکعب های فیبوناتچی تعمیم یافته و ویژگی های این مکعب ها آشنا می شویم.