در این پایان نامه ساختار گروه های متناهی که دارای 3 اندازه رده مزدوجی هستند را بررسی می کنیم. به ویزه ملاحظه می کنیم که این گروه ها حل پذیر با طول مشتق حداکثر 3 هستند، یا گروه های پوج توان اند. رتبه مزدوجی یک گروه تعداد اندازه های متمایز رده های مزدوجی غیر مرکزی آن گروه است. وجود یک عامل آبلی در حاصل ضرب مستقیم، تاثیری در رتبه مزدوجی ندارد. رده f-گروه ها شامل گروه هایی است که مرکز سازهای عناصر غیر مرکزی آنها دو به دو با توجه به رابظه شمولیت غیر قابل مقایسه هستند. هر گروه با رتبه مزدوجی 2 یا یک f-گروه است یا حاصل ضرب مستقیم یک گروه آبلی و یک گروه با مرتبه توان اول است. اگر g یک گروه غیر پوچ توان با رتبه مزدوجی 2 باشد آن گاه طول مشتق g حداکثر برابر 3 است . اما گروه های پوچ توان بارتبه مزدوجی 2 و رده پوچ توانی به دلخواه بزرگ وجود دارند.

: در این پایان نامه تعداد مرکزسازهای یک گروه متناهی را بررسی می کنیم. فرض کنیم g یک گروه باشد، مجموعه ی مرکزسازهای g را با cent(g) نشان می دهیم. بررسی ارتباط ساختار گروه و |cent(g)| موضوع جالبی است. یک گروه g، n-مرکزساز نامیده می شود اگر |cent(g)|=n. هم چنین یک گروه را n-مرکزساز اولیه می گوییم اگر |cent(g) |=|cent(g/z(g) ) |=n، که در آن z(g) مرکز g است. در این پایان نامه گروه های 4-مرکزساز تا 8-مرکزساز را بررسی می کنیم. نشان می دهیم گروه 4-مرکزساز اولیه و 8-مرکزساز اولیه وجود ندارد. با توجه به قضایا و نتایج بدست آمده، cent(g) و هم چنین |cent(g)| را برای گروه خطی ویژه تصویری و گروه سوزوکی روی میدانی با qعنصر بدست می آوریم.

فرض کنید g گروهی متناهی و (irr?(g مجموعه ی سرشت های تحویل ناپذیر و غیر خطی g باشد. در این صورت گراف سرشت g که با نماد (?(g نمایش می دهیم گرافی است که رئوس آن اعضای (irr?(g است و دو رأس ? و? توسط یک یال به یک دیگر وصل هستند اگر و تنها اگر gcd(?(1),?(1))?1. در این پایان نامه با استفاده از قضیه رده بندی گروه های ساده نشان می دهیم a? تنها گروه ساده و ناآبلی است که گراف سرشت آن فاقد مثلث است. اگر g یک گروه متناهی و غیر حل پذیر باشد که گراف آن دارای مثلث نیست، آن گاه g گروه کامل است و در نتیجه g?a?. بنابراین a? تنها گروه غیر حل پذیر است که گراف سرشت آن دارای مثاث نیست.

فرض کنید h یک گروه متناهی و c یک زیر مجموعه از h{1} باشد. در این صورت گراف کیلی جهت دار cay(h,c) گرافی است با مجموعه رئوس v=hو مجموعه یال های e={(x,y) ?| x,y ?h,yx^(-1) ?c}={(x,hx) | x ?h,h ?c} در حالتی که c= c^(-1)، c را زیر مجموعه کیلی می نامیم. در این حالت گراف کیلی cay(h,c)، یک گراف بدون جهت است. یک گراف ?=(v,e) را گراف دوکیلی روی گروه h می نامیم هرگاه گروه h روی مجموعه ی v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقأ دارای دو مدار با طول یکسان باشد، یعنی aut(?) زیرگروهی یکریخت با h داشته باشد به طوری که روی v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقأ دارای دو مدار با طول یکسان باشد. هر گراف دوکیلی را می توان با شرایط معادل زیر نیز توصیف کرد. فرض کنید t، s، r زیر مجموعه هایی از گروه h باشند به طوری که s^(-1)=s و r^(-1)=r و r?s شامل عضو همانی h نباشد، گراف bicay(h;r,s,t) را به صورت زیر تعریف می کنیم: مجموعه رئوس آن {0,1}×h است و دو رأس (i,h) و (j,g) مجاورند اگر و تنها اگر یکی از این سه حالت زیر رخ دهد ?)i=j=0 و gh^(-1)?r. ?) i=j=1 و gh^(-1)?s. ?)i=0,j=1 و gh^(-1)?t. نشان می دهیم گراف ?=(v,e) یک گراف دوکیلی روی گروه h است اگر وتنها اگر گروه h روی مجموعه v به صورت نیمه منظم عمل کند و دقیقاً دارای دو مدار با طول یکسان باشد. یک گراف را گراف دوکیلی تک جورساز می نامیم هرگاه گراف دوبخشی القاء شده توسط یال های که این دو مدار را به هم متصل می کنند، بک جورسازی تام باشد. گراف های پترسن تعمیم یافته مثال های نوعی از این چنین گراف ها هستند. در ادامه یک رده بندی از گراف های دوکیلی تک جورساز همبند تراگذار کمانی روی گروه های آبلی را بررسی می کنیم، این رده بندی بدون استفاده از رده بندی گروه های ساده متناهی انجام شده است. در عوض سرشت های تحویل ناپذیر مختلط گروه های آبلی به صورت گسترده استفاده می شود.

فرض کنید s یک زیرمجموعه از گروه آبلی و متناهی g باشد. گراف کیلی جمعی را که با نشان می دهیم عبارت است از گرافی با مجموعه رئوس g و یال هایی از مجموعه ی یعنی بین دو رأس و در گراف g یال وجود دارد اگر و تنها اگر در این پایان نامه هدف تعیین همبندی گراف های کیلی جمعی است. یادآوری می کنیم که کمترین تعداد رأسی که با حذف آن از گراف ، گراف ناهمبند می شود و یا تنها یک رأس از آن باقی می ماند را همبندی رأسی تعریف می کنیم و با نشان می دهیم. ابتدا ثابت می کنیم همبند است اگر و تنها اگر s مشمول در یک همدسته از زیرگروه اکید g نباشد، مگر اینکه مشمول در یک همدسته ی ناصفر از یک گروه از شاخص 2 باشد. سپس خانواده ای از زیرگروه های g را به صورت معرفی کرده و را به صورت ، تعریف می کنیم و نشان می دهیم بنابراین یک کران بالا برای است. حال و را در نظر می گیریم به طوری که در شرایط زیر صدق کند. 1) 2) و خانواده ای از زیر گروه های را به صورت زیر تعریف می کنیم. }شرایط 1 و 2 برقرار باشند و قرار می دهیم و نشان می دهیم و در نتیجه نیز یک کران بالا برای است و در آخر با اثبات و چند نتیجه ی مهم از آن، همبندی رأسی گراف را مشخص می کنیم.