در این رساله بر حل مسائل مکانیک محیط های پیوسته به کمک روش عددی المان مرزی تمرکز شده است. بدین منظور، روش المان مرزی برمبنای دو راهکار پیشنهادی جدید، یعنی استفاده از توابع پایه ی شعاعی مناسب در تخمین ترم غیرهمگن کننده معادلات دیفرانسیل، و نیز ارائه توابع شکل کارا برای تخمین متغیر حالات معادلات حاکم، فرمول بندی می شود. توابع پایه ی شعاعی پیشنهادی که شکلی به صورت exp(i?r) دارند، از مفهوم سری مختلط فوریه گرفته شده و مبنای نام گذاری آنها بر همین اساس است. این توابع، خواص دو تابع پایه ی شعاعی گاوسین و حقیقی فوریه، گزارش شده در پیشینه تحقیقات علمی، را به طور همزمان اغنا می کند، که این مهم توانایی و قدرت بالایی را برای این توابع به همراه خواهد داشت. برای پیدا کردن حل خصوصی معادله دیفرانسیل مربوط به هسته های فرضی جابجایی و ترکشن از روش تغییر پارامترها استفاده شده است. در ادامه برای رفع تکینگی از هسته های فرضی، حل عمومی هم به کار برده شده است. پس از رفع تکینگی، حالت حدیِ انطباق نقطه چشمه و گره مرزی محاسبه شده است. در ادامه به این ایده پرداخته شده که آیا می توان علاوه بر درون یابی ترم اینرسی به عنوان ترم غیرهمگن کننده معادله ناویه، از مزیت و قدرت توابع پایه ی شعاعی مذکور در درون یابی متغیر های هندسی و فیزیکی خود معادله دیفرانسیل با استفاده از روش المان مرزی استفاده کرد؟ این چالش منجر به توسعه توابع شکل جدیدی شد. از آنجایی که این توابع شکل از توابع پایه ی شعاعی مختلط فوریه استنتاج می شدند، تحت عنوان توابع شکل مختلط فوریه نام گذاری شدند. از خواص توابع شکل پیشنهادی می توان به مرتبه پیوستگی بینهایت، توسعه آنها برای ابر المان های متساوی الفاصله بدون وقوع پدیده رانگ، دارا بودن همزمان میدان های چند جمله ای، نمایی، و مثلثاتی اشاره کرد. برای نشان دادن کارایی و دقت روش حاضر، مثال های متعددی در نظر گرفته شده و نتایج عددی حاصل با نتایج به دست آمده از توابع شکل کلاسیک لاگرانژ، سایر توابع پایه ی شعاعی موجود، و همچنین با حل تحلیلی مقایسه شده است. در مقایسه با سایر نتایج گزارش شده در پیشینه تحقیقات علمی، روش های پیشنهادی در این رساله، نتایج دقیق تر و پایدارتری را ارائه می دهند. همچنین با توجه به مزایای چشمگیر توابع مختلط فوریه، کاربرد این توابع به عنوان توابع شکل پیشنهادی در روش المان محدود مورد بررسی قرار گرفته است. بدین منظور المان های یک بعدی مختلط فوریه و خواص آن ها، به حالت دو بعدی برای مش بندی حوزه (و نه مرز) تعمیم داده شده است.