به سبب کاربردهای فراوان معادله دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتق در علومی چون فیزیک، مکانیک، نظریه کنترل، زیست شناسی، اقتصاد، نظریه راکتور های هسته ای و بسیاری از رشته های مهندسی و علوم طبیعی، تلاش می کنیم تا این معادله را در این پایان نامه بررسی کنیم. لازم به ذکر است که معادله ی فوق با تغییر متغیری مناسب می تواند با معادله ی انتگرال تابعی جایگزین شود.علاوه بر این، یک روش عددی بر پایه ی تقریب سینک و قضیه نقطه ثابت برای تقریب جواب معادله انتگرال بالا ارائه می کنیم. همچنین همگرایی و یکتایی جواب معادله ی مذکور را مورد بررسی قرار می دهیم. معادلات دیفرانسیل خنثی با آرگومان مشتقی که در این پایان نامه بررسی می شود، نوعی معادله دیفرانسیل تاخیری است. بنابراین به منظور روشن کردن کاربرد این معادلات در دیگر علوم تعدادی مدل را مطرح می کنیم.در انتهای این پایان نامه، برای نمایش نتایج تحلیلی، کارایی بالا و دقت روش ارائه شده تعدادی مثال مطرح و بررسی می شود.

معادلات انتگرال نقش مهمی در آنالیز غیرخطی ایفا می کنند و همچنین کاربردهای وسیعی در بسیاری از علوم مهندسی، شیمی، فیزیک و زیست شناسی دارند. مدلی از معادلات انتگرال غیرخطی که در این پایان نامه مورد برسی قرار خواهد گرفت، معادله انتگرال همرشتاین است. با استفاده از تکنیک اندازه غیرفشرده و قضیه نقطه ثابت از نوع داربو و با اعمال شرایط های مناسب در مورد وجود جواب معادله انتگرال غیرخطی مورد نظر در فضای باناخ، شامل تابع پیوسته وکراندار روی بازه [?, 0] بحث خواهیم کرد که جواب آن در بی نهایت به صفر میل می کند. همچنین یک روش تقریبی برای جواب معادله انتگرال غیرخطی همرشتاین براساس روش نقطه ثابت و کوادراتور سینک ارائه و سپس همگرایی این معادله را با بیان قضیه ای اثبات می کنیم.در پایان با چند مثال عددی و ارائه جدول ها و نمودار ها دقت روش را نشان می دهیم.

بسیاری از مسائل مهم ریاضی و فیزیک به معادلات انتگرال و دستگاه معادلات انتگرال تبدیل می شوند. هدف این پایان نامه حل عددی دستگاه معادلاتی است، که بصورت زیر در نظر گرفته می شود: ?u(x)=f(x)+?_a^b?k(x,t) u(x)dt u(x)=[u_i (x)] i=1,…,n f(x)=[f_i (x)] i=1,…,n k(x,t)=[k_(i,j) (x,t)] i,j=1,…,n با استفاده از دو روش گسسته سازی معادلات به روش های تصویر با چند جمله ای های لژاندر و روش تجزیه آدومیان، دستگاه ذکر شده مورد بررسی قرار گرفته شده است. همگرایی هر دو روش را با بیان قضیه ها یی اثبات می کنیم.در پایان با چند مثال عددی و ارائه جداول و نمودارهایی،دقت روش ها و تفاوت آنها و نقایص روش تجزیه آدومیان را نشان می دهیم.

در این پایان نامه ما ابتدا به معرفی برخی از روش های تکراری کلاسی مانند ژاکوبی و گاوس سایدل و sor می پردازیم.ادر فصل دوم به معرفی برخی ارز روش های زیر فضای کرایلوف همانند گرادیان مزدوج و gmres و fom و cr می پردازیم.در فصل سوم برخی از روش های پیش شرط سازی را ارائه می دهیم و روش های گرادیان مزدوج پیش شرط شده و روش مینیمم باقیمانده تعمیم یافته پیش شرط شده را ارائه میدهیم.و نهایتا کلاسی از روش ها و تکنیک های پیش شرط سازی ارائه می شود که تابع گویاتقریب هایی را برای بدست آوردن معکوس ماتریس اصلی بدست میدهد.در این روش ابتدا ماتریس انتقال داده می شود و تجزیه luماتریس انتقال داده شده محاسبه می شود.فاکتور های بدست آمده از تجزیه برای بدست آوردن یک پیش شرط بهتر استفاده می شود.چون تجزیه ناقص بر روی ماتریس انتقال داده شده ساخته شد یک تجزیه lu بدون fill-in زیاد بدست می آید.بنابراین انگیزه اساسی در این پروژه حفظ و نگهداری حافظه می باشد.

چکیده: در این پایان نامه روش اجزا مرزی گالرکین بر پایه ی درونیابی موجک هرمیتی مثلثاتی برای حل مسایل پتانسیل دو بعدی ارایه شده است. مقالات زیادی در مورد روش هایی مانند روش اجزاء محدود، روش گالرکین آزاد و روش گره مرزی گالرکین وجود دارد. اما روش های فوق به دلیل پیچیدگی فرمول ها و محاسبه درایه های ماتریس، سخت و زمانبر است. در این پایان نامه سعی شده ابتدا معادله ی پتانسیل دوبعدی را به کمک روش عناصر مرزی گالرکینحل کنیم سپس به کمک پایه های موجک هرمیتی مثلثاتی تابع بدست آمده را تقریب بزنیم و عملگر ماتریسی برای تقریب آن بدست آوریم. استفاده از موجک ها به عنوان پایه ی متعامد از آن جهت حائز اهمیت است که سبب می شود دستگاه حاصل از گسسته سازی معادلات پتانسیل دستگاهی با ماتریس ضرایب تنک تشکیل شود که سهم عمده ای در تسریع و کاهش هزینه ی محاسبات حل عددی معادلات خواهد داشت. دقت جواب، میزان خطا دستگاه حاصل از گسسته سازی این معادلات به وسیله ی موجک هرمیتی مثلثاتی گزارش شده است که نتایج حاصل، کارایی روش را به اثبات می رساند. واژه های کلیدی : مسائل پتانسیل، معادلات انتگرال مرزی، موجک هرمیتی مثلثاتی، روش عناصر مرزی گالرکین، تحلیل خطا.

چکیده: از آنجا که در بیشتر شاخه های علم با توابع جدولی سر و کار داریم درونیابی توابع همواره مورد توجه بوده است. برای درونیابی می توان از روش های مختلفی مانند چند جمله ای درونیاب نیوتن، اسپلاین ها، درونیابی کسری، درونیاب هرمیتی و ... استفاده کرد. درونیاب سینک یک روش بسیار عالی برای درونیابی توا بعی است که در بینهایت گره متساوی الفاصله روی خط اعداد حقیقی درونیابی می شوند. از آنجا که عملا باید از قطع شده سری سینک: c(f,h)(x)=?_(i=-?)^???f_i s[?/h(x-x_i)]? که در این فرمول s(x)=sinc(x) به صورت زیر تعریف می شود: sinc(x) و sinc(x)={?((sinc(x))/x if x?0@1 if x=0)? رخ می دهد ارائه می کنیم. سپس این فرمول را با قرار دادن تفاضلات نامتناهی به جای مشتقات تصحیح می کنیم. درونیاب کسری برای تابع سینک را معرفی می کنیم. سپس [-x,x] استفاده شود، یک فرمول برای خطایی که هنگام درونیابی یک تابع چند بار مشتق پذیر روی بازه متناهی درباره وجود جواب برای معادله انتگرال غیرخطی: x(t)=f(t,x(?(t)))+?_0^1??u(t,s,x(?(s)))ds? بحث می کنیم. برای این کار از تکنیک اندازه غیر فشرده و شرط داربو و قضیه نقطه ثابت کمک می گیریم. در نهایت یک روش عددی توانمند را که بر اساس کوادراتور سینک است معرفی می کنیم. واِژه های کلید: تابع سینک، درونیاب سینک، برونیاب سینک، شرط داریو، قضیه نقطه ثابت، اندازه غیرفشرده

یکی از ابزارهای بسیار قدرتمند برای درون یابی و تقریب توابع مختلف، اسپلاین های مکعبی هستند که خود به جندین گونه تفکیک می شوند. ما در این پایان نامه به بررسی و حل عددی معادله ی انتگرال همرشتاین نوع دوم که به صورت زیر است، می پردازیم. g(x);=x 2 [a; b] x(t) + g(t)+∫a bh(t; s):f (s; x(s); x(φ(s)))dsروشی که در اینجا مورد بررسی قرار می گیرد برگرفته از مرجع 1 است که از روش درون یابی (با به کارگیری اسپلاین های مکعبی طبیعی) و همچنین کوادراتور ذوزنقه ای استفاده کرده و با به کارگیری یک تکنیک تکراری مساله مورد نظر را حل می کند .در ادامه همگرایی و پایداری عددی این روش را مورد بررسی و آنالیز قرار داده و صحت آنها را با استفاده از نتایج عددی نشان خواهیم داد.

در فصل اول این پایان نامه درونیابی باری سنتریک را تعریف و همچنین ثابت لبگ این درونیابی و شرایط درونیابی گویای باری سنتریک خطی را بررسی کرده و در فصل دوم کوادراتور گویای باری سنتریک خطی مستقیم و غیر مستقیم را معرفی کرده و نیز ویژگی هایی از کوادراتور گویای خطی مستقیم را بیان کردیم.در فصل سوم مقدمه ای از معادلات انتگرال را بیان کرده ایم. در فصل چهارم دو روش را برای حل معادلات انتگرال ولترا و همگرایی آنها را مقایسه کردیم.در فصل پنجم به بیان تعدادی مثال عددی پرداختیم.

در این پایان نامه شیوه ای عددی و کارآمد برای حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل ولترای خطی درجه ی دوم ارائه شده است. برنامه کلی این شیوه مبتنی بر فرمول های حجم مکعب و هم محلی بی اسپلاین (b – spline collection) می باشدو در کنار مثال های عددی، از آنالیز استفاده شده است. نتایج بدست آمده قابل اعتماد ،معتبر و کارآمدی الگوریتم را تأیید می کند