در این پایان نامه، خواص زیر از تجزیه های اولیه روی حلقه نوتری ‎$r$‎ مطالعه خواهد شد: ‎egin{description}‎ ‎item[1)]‎ به ازای مدول های متناهی مولد ‎$nsubseteq m$‎ و زیرمجموعه ‎$x=lbrace p_{1}‎, ‎p_{2},ldots‎, ‎p_{r} brace$‎ از ‎$mathrm{ass}(m/n)$‎، یک مولفه ‎$-x$‎اولیه ‎$nsubseteq m$‎ را به صورت مقطع ‎$n=q_{1}cap q_{2}capcdotscap q_{r}$‎ تعریف می کنیم که در آن ‎$ q_{i}$‎ها مولفه های ‎$ p_{i}$-‎اولیه ‎$nsubseteq m$‎ هستند. سپس خاصیت سازگاری تجزیه های اولیه را اثبات کرده و به کمک آن، مولفه های ‎$-x$‎اولیه ماکسیمال ‎$nsubseteq m$‎ را بررسی می کنیم و در نهایت به بررسی مجموعه های باز ‎$mathrm{ass}(m/n)$‎ می پردازیم. ‎item[2)]‎ خاصیت رشد خطی را تعریف کرده و ارتباط آن را با اعداد آرتین-ریس بیان می کنیم. ‎item[3)]‎ خاصیت رشد خطی ‎$mathrm{ext}$‎ و ‎$mathrm{tor}$‎ را اثبات می کنیم، یعنی نشان می دهیم به ازای مدول های با تولید متناهی ‎$n$‎ و ‎$ m$‎، ایدآل های ‎$i_{1}‎, ‎i_{2},ldots‎, ‎i_{t}$‎ از ‎$ r$‎ و هر عدد صحیح نامنفی ‎$ i$‎، یک عدد طبیعی ‎$ k$‎ یافت می شود به طوری که به ازای هر ‎$underline{n}=(n_{1}‎, ‎n_{2},ldots‎, ‎n_{t})inmathbb{n}^{t}$‎ می توان یک تجزیه اولیه از زیرمدول صفر در ‎$mathrm{e}_{underline{n}}=mathrm{ext}_{r}^{i}(n‎, ‎m/i_{1}^{n_{1}} i_{2}^{n_{2}}ldots i_{t}^{n_{t}}m)$‎ ( یا زیرمدول صفر در ‎$mathrm{t}_{underline{n}}=mathrm{tor}_{i}^{r}(n‎, ‎m/i_{1}^{n_{1}} i_{2}^{n_{2}}ldots i_{t}^{n_{t}}m)$)‎ پیدا کرد به طوری که هر مولفه ‎$‎ ‎-p$‎اولیه ‎$ q$‎ از این تجزیه شامل ‎$p^{kvertunderline{n}vert}mathrm{e}_{underline{n}}$‎ (یا ‎$p^{kvertunderline{n}vert}mathrm{t}_{underline{n}}$)‎ باشد، که در آن ‎$vert{underline{n}}vert=n_{1}+n_{2}+cdots+n_{t}$‎. ) به ازای مدول های متناهی مولد n ? m و زیرمجموعه x = {p?, p?, . . . , pr} از ass(m/n)، یک مولفه x-اولیه n ? m را به صورت مقطع n = q??q??· · ·?qr تعریف می کنیم که در آن qiها مولفه های pi-اولیه n ? m

فرض کنید r یک حلقه ی جابجایی و یکدار باشد. اصل ایده آل اول بیان می کند که اگر f یک خانواده ی آکو یا اوکا از ایده آل های r باشد، آنگاه(max(f?) ? spec(r که در آن f مکمل f است. فرض کنیم f یک خانواده ی نیم فیلتر از ایده آل های r باشد و هر زنجیره غیرخالی در f (با رابطه ی شمول) دارای کران بالایی در f باشد، در این صورت همه ی خواص مذکور در دیاگرام استنباطی زیر معادل هستند: (p?) =? (p?) =? (p?) =? str.ako =? ako ? ? ? str.oka =? oka =? p.i.p فرض کنیم f خانواده ای از ایده آل ها در یک حلقه ی منظم فون نیومن r باشد، بطوری که r ? f. در این صورت هر یک از شرایط (p2) و (p3) معادل با منوئیدال بودن f است.

هدف ما در این پایان نامه به دست آوردن یک کران بالا برای نظم کاستلنوا-مامفورد یک زیرمدول مدرج از یک مدول کوهن مکالی روی یک حلقه استاندارد می باشد که تعمیمی از کران بالا برای نطم کاستلنوا-مامفورد یک ایدآل مدرج از حلقه چندجمله ای ها روی یک میدان می باشد.

یکی از سوالات باز اساسی در نظریه پیوند این است که آیا هر ایده آل کوهن-مکالی همگن در یک حلقه چندجمله ای در یک کلاس پیوند گرنشتاین از یک مقطع کامل است. در اینجا‏، به این سوال در حالتی که ایده آل نامبرده ایده آل استنلی-رایزنر یک مجتمع سادکی به طور ضعیف رأس-تجزیه پذیر باشد جواب مثبت داده می شود. این رده از مجتمع های سادکی شامل مترویدها‏، انتقال یافته ها و گرنشتاین ها است. بعلاوه‏، با ساخت یک مجتمع سادکی نشان داده می شود که خاصیت در کلاس پیوند گرنشتاین بودن با یک مقطع کامل به مشخصه میدان زمینه بستگی دارد. در ادامه‏، به عنوان کاربردی از روش ها‏، نشان داده می شود که حدس تجزیه استنلی در برخی موارد برقرار است.

با استفاده از نتایج، مفاهیم و تکنیک های جبرجابجایی مانند ایده آل صفر یک مجموعه از نقاط، ‎ -‎a ‎پایا، چندجمله ای و سری هیلبرت، و همچنین تحلیل آزاد متناهی و مدول های متعارف، نتایجی در مورد کدهای رید-مولر، که روی یک مقطع کامل صفر بعدی در فضای تصویری تعریف شده اند، حاصل می شود. در ادامه، نتایج حاصل روی چند مثال اعمال می شوند.

فرض کنید d یک دامنه صحیح، * یک عملگر ستاره روی d و s یک بسته ضربی از d باشد. s را یک مجموعه *g_شکافنده از d می نامند هرگاه برای d ? d ?=? داشته باشیم d = st که s ? s و t ? d به طوریکه به ازای هرs?, t)? = d ،s? ? s).

مطالعه حلقه های ادغامی در راستای یک ایدآل