در این پایان نامه، روشی برای حل معادله گرما که نمونه ای از معادلات سهموی است ارایه می شود. در حالت بک بعدی، ابتدا با استفاده از روش تفاضلات متناهی کرانک- نیکلسون، معادله حل می شود و با استفاده از این جواب تقریبی، ماتریس اطلاعات فوری به دست می آید. با تجزیه مقدار تکین ماتریس اطلاعات فوری، پایه بهینه و جواب های بهینه- که تقریبی از جواب های روش کرانک- نیکلسون هستند- به دست می آیند. در حالت دو بعدی، به کمک حالتی ار روش تفاضلات متناهی ضمنی جهت های متناوب (adi) که به dadi معروف است معادله حل می شود. به طریق مشابه، پایه های بهینه و جواب های بهینه بدست می آیند. روش تفاضلات متناهی تقلیل یافته ارایه شده به تکنیک افراز متعاده سره معروف است. سپس نتایج عددی به دست آمده از روش های تفاضلات متناهی معمول با نتایج عددی به دست آمده از روش های تفاضلات متناهی تقلیل یافته مقایسه می شوند. در پایان، خطای روش های تفاضلات متناهی تقلیل یافته برآورد می شود.

از زمانی که روش های ضمنی جهت متناوب (adi) توسط هنری راچفورد و هم کاران ارایه شد، بیش از نیم قرن می گذرد و هنوز این روش ها به عنوان ابزاری سودمند در حل معادلات با مشتقات پاره ای سهموی و هذلولوی در ابعاد بالا مورد استفاده قرار می گیرند. علت این محبوبیت آن است که این روش ها از ویژگی های دقت مطلوب، پایداری نامشروط، حجم محاسبات پایین و قابلیت موازی سازی محاسبات برخوردار هستند. در این پایان نامه سه روش adi جدید در حل معادلات با مشتقات پاره ای سهموی دو و سه بعدی و هذلولوی سه بعدی بررسی می-شوند.

این پایان نامه روش مشتق گیری عددی مناسبی برای حل معادلات غیر خطی، از طریق فرمول های تفاضل متناهی ارائه می گردد. سپس دقت و خطای این روش با روش های دیگر مقایسه می شود. دراین روش واکنش های سوخت و ساز در مقیاس بزرگ بررسی می گردد، بنابراین پایان نامه به صورت زیر ارائه می شود؛ فصل اول، مفاهیم و اصطلاحات زیست شناسی معرفی می شوند، این مفاهیم شامل متابولیسم، آنزیم ها، ساختار آنزیم ها و واکنش های مربوط به آنزیم ها است. در فصل دوم، نظریه سیستم های بیوشیمیایی (bst) معرفی می گردد. فصل سوم، نظریه سیستم های بیوشیمیایی، برای ده آنزیم بررسی می شود. در این ده آنزیم متغیر های مستقل و وابسته مشخص شده، رابطه ی بین آن ها بررسی شده و با استفاده از قوانین توان، مشتق مرتبه اول به دست می آید. فصل چهارم، آنزیم های چرخه کربس (tca) معرفی و پارامتری می گردند. متغیرهای مستقل و وابسته مشخص می شوند. ابتدا معادلات از شکل میکائلیس- منتن به معادلات سیستم هم افزا تبدیل می گردند، سپس از قواعد توان استفاده شده، معادلات غیر خطی به خطی تبدیل می شوند. در فصل پنجم، فرمول های تفاضل متناهی در چهار یا پنج نقطه ارائه می شوند. با استفاده از ترکیب فرمو ل های تفاضل متناهی، روش مشتق گیری عددی مناسب ارائه می گردد. کاربرد روش ارائه شده، در چرخه کربس بررسی شده و دقت و خطای آن مورد بررسی قرار می گیرد.