ارتباط تجربی بین بازدهی یک دارایی و تلاطم آن به خوبی در ادبیات مالی ملاک قرار داده می شود . همبستگی منفی بین بازدهی و تلاطم ، اثر اهرمی نامیده می شود و چون این اثر، یکی از ویژگی های مهم تلاطم در بازارهای مالی است ، بررسی آن درمدل های تلاطمی حائز اهمیت است که موضوع اصلی این پایان نامه را تشکیل می دهد. علاوه بر آن ویژگی های پارامترهای موجود در مدل که ظهور اثر اهرمی را تضمین می کنند، نیزمورد بررسی قرار می گیرند . به طور مثال، با تجزیه و تحلیل دو مدل کلی از مدل های تلاطم تصادفی سهام و قابلیت این مدل ها در تولید اثر اهرمی، شرایط لازم برای ظهور اثر اهرمی مطرح می شوند . در پایان با بیان مثال های مختلف، وجود این اثر بررسی می شود .

در این پایان نامه به بررسی میانگین پذیری مرکز جبرهای گروهی می پردازیم. ابتدا خواص میانگین پذیری مرکز جبرهای گروهی را بررسی می کنیم و قضیه ابرتوبرین را بیان می کنیم. گروههای فشرده را تعریف می کنیم و خواص مرکز جبرهای گروهی آن را بررسی می کنیم و نشان می دهیم جبرهای گروهی فشرده میانگین پذیرند اگر قطر تقریبی آن کراندار باشد.نشان می دهیم اگرg همبند و غیر آبلی باشد، (zl1(gمیانگین پذیر نیست. شرایط لازم برای میانگین پذیری جبرهای ابر گروهی را بررسی می کنیم و در آخر ثابت های میانگین پذیری برای جبرهای نیم شبکه ای را بیان می کنیم. نشان می دهیم اگر یک نیم شبکه متناهی داشته باشیم، جبر مدرج روی این نیم شبکه میانگین پذیر است اگر هر زیر فضای بسته آن میانگین پذیر باشد و در آخر ثابت های میانگین پذیری مجاز را بررسی می کنیم.

در این پایان نامه یک روش تفاضل متناهی برای حل معادلات انتگرو دیفرانسیل جزئی ارائه می شود. در نظریه ارزش گذاری اختیار معامله هنگامی که دارایی بنیادین به وسیله ی یک فرآیند لوی یا یک فرآیند دیفیوژن پرشی مدل شده باشد، این نوع معادلات پدیدار می شوند. در واقع یک روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی مطرح می شود، که می تواند برای ارزش گذاری اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع به کار رود. همچنین پایداری و همگرایی روش ارائه شده، مورد مطالعه قرار می گیرد و در نهایت با ذکر مثال هایی، عملکرد روش ارائه شده بررسی می شود.