در سال های اخیر موضوع بسیا مهمی که توسط کارشناسان نظریه گروههای متناهی برسی می شود، این است که چه ارتباطی بین اندازه کلاسهای تزویج یک گروه متناهی و ساختار آن گروه وجود دارد به عبارت دیگر اگر اندازه اگر اندازه کلاسهای تزویج یک گروه متناهی را بدانیم آنگاه در رابطه با ساختار آن گروه چه اطلاعات مفیدی می ‍ توان به دست آوریو در این پایان نامه فرض کنیم که g یک گروه متناهی باشد و مجموعه طول کلاسهای تزویج گروه g مجموعه {1,m,n,mn} باشد که در آن m و n اعداد طبیعی متباین هستند. در این صورت g حلپذیر است و نتیجه خواهیم گرفت که دg پوچتوان است و اعداد ائل p و q موجوداند بطوریکه m=p^a و n=q^b که در آن a و b اعداد صحیح نامنفی هستند.

فرض کنیم ‎$s_{n}$‎ گروه متقارن از درجه ‎$n$‎، ‎$ n>5$‎ باشد. به ازای جایگشت های غیر همانی و دلخواه ‎$ alpha‎ ,‎eta in s_{n}$‎ ثابت می کنیم که ‎$ alpha^{s_{n}}eta^{s_{n}}$‎ حاصلضرب کلاسهای تزویج ‎$ alpha$‎ و ‎$eta$‎ در ‎$s_{n}$‎، هرگز یک کلاس تزویج نیست. بعلاوه اگر ‎$ n$‎ فرد باشد و مضربی از ‎3‎ نباشد، آنگاه ‎$ alpha^{s_{n}}eta^{s_{n}}$‎ به صورت اجتماعی از حداقل ‎3‎ کلاس تزویج متمایز است. همچنین در این پایان نامه در مورد آن جایگشتهای ‎$ alpha‎ ,‎eta in s_{n}$‎ بحث می کنیم که ‎$ alpha^{s_{n}}eta^{s_{n}}$‎ بصورت اجتماعی از دقیقا دو کلاس تزویج متمایز است

فرض می کنیم گروه متناهی و ? مجموعه ای از اعداداول باشد. اعداد ( u_? (g و s_?(g) را بصورت (??irr(g) ?,?(1)?_?=1)? ?(1)?^2 = u_? (g)_? |(n_?=1)??_g (n)n? = |s_?(g _ ? تعریف می کنیم که در آن ? تعداد کلاس های تزویج از طول n است. ثابت می کنیم که: 1.گروه g حاصلضرب مستقیم یک p-گروه و یک p-گروه است اگرو فقط اگر u p? (g) = |g |p? |g : g |p 2.گروه g حاصلضرب مستقیم یک p-گروه و یک p- گروه است اگرو فقط اگر |s p? (g ) |= |g |p? |z ( g )|p همچنین فرض می کنیم گروه g حل پذیر باشد و (?(g گراف درجات کاراکتر گروهg باشد که مجموعه رئوس این گراف مجموعه مقسوم علیه های اول درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر می باشد بطوریکه بین دو رأس p, q یک یال وجود دارد اگرو فقط اگر pq یک مقسوم علیه حداقل یک درجه کاراکتر تحویل ناپذیر باشد. ثابت می کنیم اگرg حل پذیر باشد و ? ={p , q,, r} سه رأس متمایز (?(g باشد، آن گاه (q,, r) یا (p , r) یا (p , q ) یک یا ل (?(g می باشد.

در این پایاننامه که بر اساس مرجع [1]تنظیم شده است، تاثیر مجموعه طولهای کلاسهای تزویج اعضای p-منظم g برp-منظم g بر p-ساختار گروه g را مطالعه می کنیم که در آن p عدد اول ثابت وg گروهp-حلپذیر متناهی است.بویژه، نشان می دهیم که اگر m و n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 و نسبت به هم اول باشند و مجموعه طولهای کلاسهای تزویج اعضای p-منظم گروه p-حلپذیر متناهی g برابر مجموعه {1وmوn} باشد، آنگاه گروه g حلپذیر و یک p-متمم g یک گروه شبه فروبنیوس با هسته و متمم آبلی است. همچنین ساختار گروه p-حلپذیر g را در حالتی که مجموعه طولهای کلاسهای تزویج اعضای p-منظم و غیر مرکزی g یک مجموعه از اعداد طبیعی باشد که همه این اعداد طبیعی توانی از یک عدد اول باشند، مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم

یکی از مسائل کلاسیک در نظریه ی گروه های متناهی مطالعه ی چگونگی تاثیر طول کلاس های تزویج در ساختار گروه است. در این پایان نامه ساختار همه ی گروه های متناهی را که دارای چهار طول کلاس تزویج هستند، چنانکه دوتای آنها نسبت به هم اولند، تعیین می کنیم. در قضیه ی a ثابت می کنیم که هر گاه g گروه متناهی با چهار طول کلاس تزویج متمایز باشد، چنانکه دوتای آنها نسبت به هم اول و بزرگتر از یک هستند، آنگاه مجموعه ی طول کلاس های g دقیقاً مجموعه ی {1 , m , n , mk} است، که در آن 1=(m,n) و k مقسوم علیهی از n است. سپس قضیه b را ثابت می کنیم که نشان می دهد، گروه های متناهی که دارا چهار طول کلاس تزویج متمایز باشند بطوری که دوتای آنها نسبت به هم اول و بزرگتر از یک اند، حلپذیر هستند. در نهایت نتیجه گیری خواهیم کرد که هرگاه g یک گروه ساده با چهار طول کلاس تزویج باشد، آنگاه gبا برخی sl(2,2^a)، که در آن (a>=2) ایزومورف است.

یکی از مسائل کلاسیک در نظریه ی گروه های متناهی مطالعه ی چگونگی تأثیر طول کلاس های تزویج در ساختار گروه است. در این پایان نامه که بر اساس مرجع تهیه و تنظیم شده است، ساختار همه ی گروه های متناهی را که دارای چهار طول کلاس تزویج هستند چنان که دوتای آن ها نسبت به هم اولند، تعیین می کنیم. در قضیه ی a، ثابت می کنیم که هرگاه g گروهی متناهی با چهار طول کلاس تزویج متمایز باشد چنان که دو تای آن ها نسبت به هم اول و بزرگتر از یک هستند، آن گاه مجموعه ی طول کلاس های g دقیقاً مجموعه ی {1,m,n,mk} است که در آن m,n)=1)و k مقسوم علیهی از n است. سپس قضیه ی b را ثابت می کنیم که نشان می دهد، گروه های متناهی ای که دارای چهار طول کلاس تزویج متمایز باشند به طوری که دو تای آن ها نسبت به هم اول و بزرگتر از یک اند، حلپذیر هستند. در نهایت نتیجه گیری خواهیم کرد که هرگاه g یک گروه ساده با چهار طول کلاس تزویج باشد، آن گاه g با برخی sl(2,2^a)، (a ? 2)ایزومورف است.

از دیدگاه همولوژیکی‎،‎ مهم ترین دسته از مدول ها‎‏‎ روی یک حلقه جابجایی و نوتری r‎‎‎‏، مدول های پروژکتیو‏، یکدست و انژکتیو می ‎‎باشند. بررسی پروژکتیو بودن یک مدول با استفاده از معیار معروفی که بیان می ‎‎دارد یک مدول‏ پروژکتیو است اگر و تنها اگر موضعاً آزاد باشد‏، نسبتاً ‎آسان‎ است. با این حال بررسی یکدست بودن و انژکتیو بودن مشکل تر می ‎‎باشد. برای دسته های خاصی از مدول ها‏، معیارهای ساده ای برای بررسی یکدست بودن وجود دارند. به عنوان مثال یک مدول متناهی مولد‏‏، یکدست است اگر و تنها اگر پروژکتیو باشد. برای انژکتیو بودن یک معیار محک بئر است. همچنین می دانیم‏، یک مدول آزاد تاب ‎‎‎m‎ روی یک حوزه صحیح ‎‎‎r‎‎‎ انژکتیو است اگر و تنها اگر تقسیم شدنی باشد. اما چون بیشتر مدول های انژکتیو‏، آزاد تاب نیستند‏، لذا این معیار چندان مفید نیست. در این پایان نامه‏ با بررسی آزاد تاب بودن‏، ایده آل های اول وابسته‏، انواع مختلف تقسیم پذیری و ایده آل های اول هم وابسته و سپس با کاهش دادن سوال های یکدست بودن و انژکتیو بودن روی حلقه خارج قسمتی کامل‏، معیاری برای یکدست بودن و انژکتیو بودن ارائه شده است. در حالت خاص برای حلقه های کاهشی، بر حسب آزاد تاب بودن و ایده آل های اول وابسته‏، معیاری برای یکدست بودن و بر حسب ‎‎-h تقسیم پذیری‏، معیاری برای انژکتیو بودن بدست می آوریم.

در چند دهه ی اخیر تأثیر اعمال شرایط حسابی معینی بر طول کلاس های تزویج گروه متناهی ‎g‎ به طور گسترده مورد توجه متخصصین نظریه ی گروه بوده است. در این پایان نامه ساختار گروه متناهی ‎g‎ را وقتی که طول کلاس های تزویج عضو های ‎p‎-منظم منحصراً اعداد ‎1‎ و ‎m‎ هستند، تعیین می کنیم. در قضیه ی ‎a‎، ثابت می کنیم که اگر ‎g‎ گروه متناهی ‎-p‎حلپذیر باشد و ‎{1‎, ‎m}‎ مجموعه ی طول کلاس های تزویج ‎p‎-منظم از g‎، آنگاه ‎$m=p^aq^b،‎که در آن ‎p‎ و ‎q‎ عددهای اول متمایز بوده و a و b بزرگتر مساوی صفر است‎. اگر‎b=0‎ آنگاه ‎g‎ دارای ‎p‎-متمم آبلی است. اگر b مخالف صفر باشد،‎ آنگاه ‎g=pq*a‎ که در آن p و q به ترتیب متعلق به مجموعه ی p-زیرگروههای سیلو و q-زیرگروههای سیلو است و ‎a در مرکز g قرار دارد‎. بعلاوه, اگر ‎a=0‎ آنگاه ‎g=p*q*a$‎. در دومین نتیجه ی اصلی تحت عنوان قضیه ی ‎b‎، ساختار گروه مطرح شده در قضیه ی ‎a‎ بدون شرط ‎p‎-حلپذیری معین می شود.

در مرجع ‎[‎5‎]‎‏، مارک لویس سوال زیر را مطرح کرد: اگر گروه متناهی ‎g‎‎ دارای دقیقا چهار درجه کاراکتر تحویل ناپذیر بصورت ‎1 ‎m, ‎n,mn‎, باشد که در آن ‎‎ ‎(m ,‎ n‎ ) =1‏،‎ در اینصورت آیا طول مشتق گروه ‎g‎‎ حداکثر برابر ‎‎‎‎3‎‎ است‏؟ در مرجع ‎[‎10‎]‎‏، جفری ریدل‏، یک خانواده از گروههای متناهی ‎‎ h‎ (‎ q‎,e, ‎n)‎ ‎‎ ساخت بطوریکه گروه ‎‎ h‎ (3,3,2) ‎‎‎ دقیقا دارای چهار درجه کاراکتر تحویل ناپذیر ‎‎‎‎1‎‎‎‏، ‎‎‎‎3‎‎‎‏، ‏‎‎‎‎13‎‎ و ‎‎‎‎‎39‎است در حالیکه طول مشتق این گروه نیز ‎4‎ است. بنابراین جواب سوال لویس منفی است. اما این سوال مطرح می شود که آیا مثال نقض جفری ریدل‏، مثال نقض منحصربفرد است. در این پایان نامه، به این سوال مطرح شد‏ه تا حدودی جواب مثبت می دهیم و ثابت می کنیم که قضیه‎ a‎ :‎‎‎‎ ‎اگر‎ ‎g‎‎ یک گروه متناهی باشد بطوریکه ‎‎ cd (g) =‎ ‎{1,m,n,mn} ‎که در آن ‎ ‎‎‎‎‎‎‎‎‎m,n > 1‎‎‎ و ‎‎ ‎(m ,‎ n‎ ) =1‎‎‎‎‏،‎ آنگاه ‎‎‎‎g‎‎ یک گروه حلپذیر است. بعلاوه‏، طول مشتق گروه ‎‎‎‎g‎‎ حداکثر برابر ‎‎‎‎3‎‎ است مگر اینکه ‎cd (g) =‎ {1,3,13,39} در‎‎‎ این پایان نامه‏ که براساس مرجع ‎[9]‎‏ تهیه و تنظیم شده است، گروه ‎‎g‎‎‎‏،‎‎‎‎‎ یک گروه متناهی است و ‎irr ‎ (g)‎ ‎‎ مجموعه تمام کاراکترهای تحویل ناپذیر ‎‎‎‎g‎‎ است و ‎ cd (g)‎ ‎ مجموعه تمام درجات کاراکترهای تحویل ناپذیر ‎g‎‎ است. همچنین در این پایان نامه‏، ثابت خواهیم کرد که ‎قضیه‎‎‎‎b‎‎ : ‎‎فرض کنیم ‎‎‎‎m, n‎> ‎1‎‎‎ اعداد صحیح دلخواه و ‎‎‎‎g‎ یک گروه متناهی با cd (g)‎= ‎{1,m,n,mn} در اینصورت ‎g حلپذیر است و یکی از گزاره های زیر برقرار است:‎ ‎‎)1(‎ طول‎‎ مشتق گروه g حداکثر ‎‎‎‎3‎‎ است. ‎ (2) ‎cd (g) =‎ { ‎1, ‎3, ‎13, ‎39 } ‎‎‎‎‎‎‎)3(‎‎عدد اول ‎‎‎‎p‎‎ وجود دارد بطوریکه cd (g) = { ‎1‎ , ‎p^(r_1 ) ,‎p^(r_2 ) ,‎p^(r_1+r_2 )}‎‎‎‎‎‎‎

در این پایان نامه به بررسی و مطالعه گروههای متناهی حلپذیر که در فرض ‎n-اول صدق می کنند، خواهیم پرداخت.

با توجه به اهمیت و کاربرد کاراکترهای یک گروه متناهی نه تنها در حل مسائل جالب در نظریه گروههای متناهی به عنوان یک ابزار قوی بلکه کاربرد کاراکترها و بویژه جدول کاراکتر یک گروه متناهی در سایر رشته های علوم پایه مانند فیزیک نظری و شیمی معدنی‏، بنابراین بدست آوردن حقایق جالب در مورد کاراکترها و بویژه کاراکترهای تحویل ناپذ‎‎یر یک گروه متناهی همواره یکی از مسائل تحقیقاتی مهم در زمینه گروههای متناهی است. در این پایان نامه به این سوال جالب جواب میدهیم که آیا یک گروه متناهی می تواند دارای دو کاراکتر تحویل ناپذیر متمایز باشد بطوریکه این کاراکترها روی تمامی اعضای گروه که دارای مرتبه توانی از یک عدد اول هستند‏، مقادیر برابر داشته باشند‎؟

در سال 2001 هاوی یک حدسی را مطرح کرد که اگر r یک حلقه ی جابجایی و کوهرنت باشد آنگاه یک ایزومورفیسمی از شبکه ها مابین کلاس زیرکاتگوری های کوهرنت از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده و کلاس زیرکاتگوری های تیک از کاتگوری مشتق شده از هم بافت های کامل روی r وجود دارد. در این پایان نامه دو قضیه ی زیر را اثبات خواهیم کرد: قضیه a)فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری باشد.دراین صورت هر زیر کاتگوری کوهرنت یک زیر کاتگوری سر است و ایزومورفیسمی از شبکه ها مابین کلاس زیرکاتگوری های کوهرنت از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده و کلاس زیرکاتگوری های تیک از کاتگوری مشتق شده از هم بافت های کامل روی r وجود دارد. قضیه b)فرض کنیم r یک حلقه ی جابجایی و نوتری باشد.در این صورت ایزومورفیسمی از شبکه ها را مابین کلاس زیر مجموعه های تمامی ایدآل های اول r و کلاس زیر کاتگوری های کامل از زیر کاتگوری کامل از کاتگوری r-مدولهای متناهیا نمایش داده شده که تحت زیرمدولها و توسیع ها بسته هستند. علاوه بر این نشان خواهیم داد که کاتگوری گروههای آبلی p-کامل یک کاتگوری آبلی نیست.