یک گراف را می توان به طرق مختلف به یک گروه مربوط کرد. در این پایان نامه یک گراف را به یک گروه g که به طور موضعی دوری نباشد، مربوط می کنیم به این صورت که مجموعه ی(gcyc(g را به عنوان مجموعه رئوس گراف در نظر می گیریم که(cyc(g همان دوری ساز g است؛ و دو راس توسط یک یال به یکدیگر متصل می شوند اگر آن دو راس با یکدیگر گروه دوری تشکیل ندهند. در این پایان نامه، قطر و عدد غلبه ی گراف های غیر دوری و دوری(مکمل گراف غیر دوری) را بررسی می کنیم و همه ی گروه هایی که گراف غیر دوری آنها عدد خوشه ای کوچکتر یا مساوی 4 دارند را مشخص می کنیم. همچنین گروه هایی که گراف غیر دوری آنها مسطح یا همیلتونی هستند را دسته بندی می کنیم. بالاخره، یک شرط کافی برای حل پذیری یک گروه ارائه می دهیم به این صورت که ثابت می کنیم اگر عدد خوشه ای گراف، کوچکتر از 31 باشد، آنگاه گروه، حل پذیر است و عدد 31 کوچکترین کران بالا است. همچنین تساوی برای یک گروه غیر حل پذیر برقرار است اگر و تنها اگر گروه(g/cyc(g با گروه متقارن یا گروه متناوب از درجه ی 5 یکریخت باشد.