قضیه نقطه ثابت باناخ در جهات مختلف و توسط افراد زیادی توسیع داده شد. در این پایان نامه بعد از مفاهیم اولیه در فصل اول و ارائه چند توسیع از قضیه مشهور باناخدر فصل دوم، دو نوع قضیه نقطه ثابت در فصل سوم ارائه می کنیم که یکی شامل تابع محک و دیگری شامل شرط انقباض مییر-کیلر است و در ادامه دو قضیه کلی را برای اثبات هم ارزی بین این دو نوع قضیه ثابت می کنیم و در فصل چهارم قضیه نقطه ثابت جدیدی را ارائه خواهیم کرد.

یکی از زیباترین نابرابری ها در فضاهای نرم دار، نابرابری مثلثی است. ممکن است برابری مثلثی در هر فضای نرمداری برقرار نباشد. اما همواره به دنبال بررسی شرایط کاربردی برای برقراری این برابری در فضاهای دلخواه هستیم. در این مقاله به این سوال پاسخ خواهیم داد که چه زمانی نرم حاصل از مجموع دو عضو از یک فضای *c- مدول ضرب داخلی با مجموع نرم هر کدام از آنها برابر است؟ همچنین شرایط لازم و کافی را برای اینکه دو عضو متعامد از یک فضای *c- مدول ضرب داخلی در برابری فیثاغورث صدق کنند، مورد بررسی قرار خواهیم داد.

با جمع آوری منابع، به مطالعهی قضیههای آشفتگی در پایههای متعامد یکه روی فضاهای هیلبرت میپردازیم که برای اولین بار توسطپلی و و ینر ارایه شده است . سپس به مطالعهی قابها در فضاهای هیلبرت و فضاهای باناخ پرداخته و به کمک قابها فرمول بازسازی در اینفضاها بیان میشود. در خاتمه، قضیههای آشفتگی قابها و عملگرها در فضاهای هیلبرت و فضاهای باناخ بررسی میشود.

در بخش اول این پایان نامه شرط جدیدی برای نگاشت ها در فضاهای باناخ به نام شرط (c) که تعمیمی از شرط غیرانبساطی است، معرفی می کنیم که اخیرا توسط سوزوکی بیان شده است. ونیز برخی قضیه های نقاط ثابت برای نگاشت های دارای این شرط در فضاهای باناخ را اثبات می کنیم و در ادامه این قضایا و نتایج را برای بعضی نگاشت های غیرانبساطی دیگر ، تعمیم می دهیم. شرط (c_?)و شرط (e) را معرفی کرده و دو کلاس ازنگاشت های غیرانبساطی تعمیم یافته را به دست می آوریم و وجود نقاط ثابت و نیز رفتارمجانبی شان رامورد مطالعه قرار می دهیم. در پایان هر بخش، یک قضیه ی نقطه ثابت مشترک را برای این رده نگاشت های غیرانبساطی تعمیم یافته، بیان و ثابت می کنیم.

در این پایان نامه ، ابتدا قضیه نگاشت باز را برای فضاهای پارانرم ثابت کرده و به کاربرد آن می پردازیم، از جمله اثبات جدیدی برای باز بودن نگاشت تحلیلی غیر ثابت ارائه می دهیم. در ادامه، مفهوم مجموعه نگاشت های ‎pa(r,r)$‎ و (pl(x,yو pl(x,y )‎ را تعریف می کنیم که در واقع مجموعه (pl(x,y ‎‎ توسیعی از مجموعه نگاشت های خطی می باشد.سپس قضیه نگاشت باز برای مجموعه نگاشت های(‎ pl(x,y که مستقل از خواص پیوستگی و خطی می باشند، بیان و ثابت می شود. در نهایت مفهوم قضیه نگاشت تقریبا باز در‎‎0 ‎? x‎ را تعریف کرده و نشان می دهیم هرگاهx‎و y‎ فضای پارانرم جدایی پذیر بوده، نگاشت ‎ f:x?? y‎ در خواص مربوط به‎ pl(x,y )‎ صدق کند و در نقطه‎‎0 ‎ ‎? x‎ تقریباً باز باشد، آنگاه‎ f‎باز است .

در این پایان نامه، به ‏مطالعه ی معادله ی تابعی نمایی ‎ f(x‎ + ‎y) = f(x)f(y)‎ , ( (x‎ , ‎y) d ‎subset‎ x* x )‎,‎ ‎‎‏‎می پردازیم که در آن x داامنه ی f است. همچنین پایداری آن را بررسی می کنیم و نوع پیکسیدر آن را در نظر می گیریم. هدف ما در این پایان نامه‏، دادن یک رویکرد کلی در بررسی این موضوع و توصیف ویژگی هایی از d است. ‏در ادامه پایداری معادله ی f(x) = a f(h(x))‎ + ‎b f(-h(x))‎ , را با برخی شرایط اعمال شده روی ثابت های a، b و تابع h مطالعه می کنیم. نتایج حاصل را برای اثبات پایداری برخی معادله های تابعی دیگر که بیش از یک متغییر دارند‏، بکار ‏خواهیم برد. ‎‏