هدف از این پایان نامه، طبقه بندی ساختارهای ابر مختلط ناوردا روی گروه های لی 4- بعدی حقیقی g است. نشان می دهیم گروه های لی همبند ساده که ساختارهای ابر مختلط ناوردا می پذیرند، به صورتهای: 1- گروه جمعی h از کواترنیونها 2- گروه ضربی * h از کواترنیونهای غیر صفر 3- گروه های حل پذیری که بطور ساده متعدی روی فضاهای هیپربولیک مختلط و حقیقی rh4 وch2 عمل می کنند 4- ضرب نیم مستقیم c?c، هستند. فضاهای ch2 و c?c یک rp2 از ساختارهای ابر مختلط ناوردای (غیر هم ارز) دارند در حالی که باقی گروه ها فقط یک rp2 در حد هم ارزی دارند. و در نهایت منیفلدهای چهار بعدی ابر هرمیتی بررسی می شوند.

در این پایان نامه کمیت s-انحنا را بر روی فضای راندرز در حالت همگن بودن بررسی کنیم. در این راستا فصل اول به بیان تعاریف ومقدماتی می پردازیم که در فصل های بعد مورد نیاز می باشندو در فصل دوم الصاق لوی چویتا را برای فضای راندرز همگن بررسی می کنیم و در فصل آخر به محاسبه فرمول s-انحنای این فضا می پردازیم وچند کاربرد از فرمول بدست آمده را بیان می کنیم.

یک نوع خاص از متر های فینسلر، (?, ?)-متریک ها هستند که کاربردهای فراوانی در مهندسی و فیزیک دارند. یکی از پر اهمیت ترین ( ?, ?)-متریک ها،متر راندرز می باشد که ما قصد داریم دراین پایان نامه آن را بررسی می کنیم. ما در این بخش می خواهیم ویژگی های هندسی متریک های راندرز ناوردای دوطرفه را روی گروه های لی بررسی کنیم و شرایط لازم و کافی برای این که متریک راندرز ناوردای چپ از نوع بروالد باشند را بیان می کنیم. همچنین نشان می دهیم متریک راندرز ناوردای دو طرفه از نوع بروالد می باشند و شرایطی را که متریک های راندرز ناوردای چپ روی گروه های لی، ناوردای دوطرفه باشد را بیان می کنیم و در نهایت به بررسی ژئودزیک های آن می پردازیم.

در این پایان نامه به مطالعه خمینه های زیر ریمانی می پردازیم،این خمینه ها توسط متری به نام متر زیر ریمانی معرفی میشوند. متر زیر ریمانی همانند حالت ریمانی تعریف میشود با این تفاوت کهدو فرم هموار ومعین مثبت روی زیر کلاف مولد کروشه لز کلاف مماستعریف میشود.با استفاده ازاین متر طول خم و ژئودوزی های نرمال برای خم های طویل یا خم های افقیتعریف می شوند و سپس با استفاده از جواب معادلات همیلتون-ژاکوبی ژئودوزی موردنزر بدست می آید. همچنین به تعریف نگاشت نمایی پرداخته و خواص این نگاشت رابرای خمینه های زیر ریمانی بررسی می کنیم.

در این تحقیق مسئله ی نابرابری های تغییراتی را روی خمینه ی ریمانی مطرح می کنیم و پس از آن به بررسی وجود و یکتایی جواب برای مسئله ی نابرابری های تغییراتی روی خمینه های ریمانی می پردازیم و مسئله ی باز مطرح شده در این زمینه را مورد بررسی قرار می دهیم. هم چنین ارتباط بین مسئله ی نابرابری تغییراتی و مسئله ی بهینه سازی مقید را بیان می کنیم. مفاهیم افزایندگی و یکنوایی را روی خمینه های ریمانی تعریف نموده و ارتباط بین این دو مفهوم را مطالعه می کنیم. سپس ثابت می کنیم که هر دو مفهوم در خمینه های هادامار معادل می باشند. هم چنین به هم ارزی بین تحدب قوی توابع و یکنوایی قوی زیر دیفرانسیل هایش روی خمینه های ریمانی می پردازیم.

در این کار پژوهشی به بررسی رده ی خاصی از خمینه های اینشتین همگن می پردازیم که فضاهای بوگینو-دامک-ریچی نامیده می شوند. برای این منظور انحنای برشی این گونه فضاها را مورد مطالعه قرار داده و رابطه ای صریح برای انحنای برشی و همچنین تبدیل ریچی آن ها ارائه می دهیم. در ادامه یک شرط کافی برای این که فضاهای بوگینو-دامک-ریچی انحنای برشی نامثبت داشته باشد را به دست آورده و به ساخت فضاهای اینشتین از نوع بوگینو-دامک-ریچی می پردازیم طوری که فضاهای اینشتین از نوع دامک-ریچی نباشند. همچنین نشان می دهیم فضاهای اینشتین از نوع بوگینو-دامک-ریچی نامتقارن با انحنای برشی منفی وجود دارند.