در این پایان نامه، حسابان کسری نیشیموتو را شرح داده و به بیان مختصری از معادلات دیفرانسیل بسل و لژاندر می پردازیم و سپس نشان می دهیم که چگونه می توان با استفاده از معادلات دیفرانسیل کسری و کاربرد بعضی از قضایای کلی در مورد جواب های صریح یک رده ی خاص از معادلات دیفرانسیل و انتگرال کسری معمولی خطی با ضرایب چندجمله ای به حل این گونه از معادلات پرداخت.

در این پایان نامه به بررسی روش های عددی برای حل مسائل بهینه سازی غیر خطی نامقید با رویکرد جستجوی خطی می پردازیم. در فصل اول مفاهیم اولیه را بیان می کنیم. در فصل دوم به بیان ویژگی های اساسی بهینه سازی نامقید می پردازیم و روش های سریع ترین کاهش، نیوتن، شبه نیوتن و گرادیان مزدوج را معرفی می کنیم. بررسی دقیق تر روش های سریع ترین کاهش، نیوتن، نیوتن اصلاح شده و شبه نیوتن و همچنین همگرایی این روش ها در فصل سوم انجام می شود. در فصل چهارم، دو الگوریتم نزولی کارا برای حل مسائل بهینه سازی نامقید بدون جستجوی خطی معرفی و مقایسه می شوند.

این پژوهش در چهار فصل ارائه شده است که آنها را به طور اجمالی شرح می دهیم: در فصل اول مفاهیم و تعاریف اولیه آورده شده اند. در فصل دوم پس از معرفی معادلات بوزینسک و بوزینسک اصلاح شده روش های تحلیلی tanh و tanh-coth را بیان و در انتهای فصل معادلات بوزینسک و بوزینسک اصلاح شده را با استفاده از روش tanh-coth حل می کنیم. در فصل سوم پس از آشنایی با توابع پایه ای شعاعی و بیان برخی قضایا و ویژگی های آن ها، در قالب مثال هایی به حل عددی معادلات با مشتقات جزئی خطی و غیرخطی با استفاده از توابع پایه ای شعاعی به روش های هم محلی و تفاضلات متناهی می پردازیم. در فصل چهارم یک شبیه سازی عددی برای تقریب جواب معادلات بوزینسک اصلاح شده به کمک توابع پایه ای شعاعی و با استفاده از روش های هم محلی و تفاضلات متناهی بر اساس گسسته سازی سه گامی زمانی بیان شده است که برای اجتناب از حل دستگاههای غیرخطی، روش پیشگو- اصلاحگر را مطرح کرده یم. در نهایت روش را روی یک مسئله انتشار موج منزوی پیاده سازی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا به بررسی الگوریتم کلید عمومی مبتنی بر چند جمله ای های چبیشف روی اعداد حقیقی پرداخته می شود. این الگوریتم امنیت جندانی ندارد و مورد حمله قرار می گیرد. که به بررسی این حمله می پردازیم سپس این الگوریتم از میدان اعداد حقیقی به میدان متناهی توسعه داده می شود که امنیت بیشتری دارد اما با این وجود باز هم مورد حمله بر اساس تحلیل تناوب چندجمله ای های چبیشف قرار می گیرد. سپس الگوریتم کلید عمومی از میدان متناهی به حلقه متناهی z_n توسعه داده میشود که امنیت این االگوریتم بستگی به انتخاب n دارد. اگر n بدرستی انتخاب شود دوره تناوب دنباله تولید شده توسط چندجمله ای های چبیشف به اندازه کافی بزرگ است تا از حمله جستجوی فراگیر در امان باشند. سر انجام یک الگوریتم کلید عمومی جدید مبتنی بر چند جمله ای های چبیشف نوع اول و دوم مطرح میشود با توجه به اینکه چند جمله ای های چبیشف نوع دوم متناوب نیستند، لذا نسبت به حمله های مبتنی بر دوره تناوب مقاوم می باشد.

در این رساله، ابتدا به معرفی و نحوه ی شکل گیری توابع متعامد گویا (لژاندر و چبیشف) پرداخته شده، سپس از آن ها در تقریب توابع روی بازه های نامتناهی استفاده شده است. در ادامه چندجمله ای های متعامد انتقال یافته به هر بازه ی دلخواه ‎$[0,b]$‎ و چندجمله ای های تقریباً متعامد معرفی شده اند. از توابع گویا و چندجمله ای های متعامد انتقال یافته در تقریب جواب های انواع معادلات دیفرانسیل (معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات با مشتقات جزئی و معادلات دیفرانسیل کسری) در بازه های طولانی بهره برده ایم. در ‎‎‏ادامه چگونگی استفاده از توابع متعامد گویا در کاهش مرتبه سیستم های کنترلی با ابعاد بالا توضیح داده شده است.

در این پایان نامه پس از پرداختن به مفاهیم اساسی روش آنالیز هموتوپی (ham)، جواب های تقریبی معادلات امدن - فاولر و معادله نوسانی غیرخطی مرتبه دوم را به وسیله روش آنالیز هموتوپی به دست می آوریم. در پایان ریشه های معادلات غیرخطی را به وسیله روش آنالیز هموتوپی و روش آنالیز هموتوپی نیوتن به دست می آوریم.