در این پایان نامه تعریف جدیدی برای جبر لی آفین تعمیم یافته ارائه می دهیم و حالت کلی تری از جبر را با نام جبر لی آفین تعمیم یافته موضعی، معرفی و بررسی می کنیم. همچنین تعریفی از پوچ-سیستم ها ارائه می دهیم. پس از این تعاریف برخی خواص اساسی ریشه و فضاهای ریشه وابسته به این جبرها را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس حدس کز را برای این نوع جبرها ثابت می کنیم، که بیان می کند فرم دوخطی متقارنی که به طور طبیعی روی q- فضای ریشه ها القا می شود یک فرم نیمه معین مثبت است. یک سیستم ریشه آفین تعمیم یافته موضعی را نیز در این پایان نامه تعریف می نماییم و نتیجه می گیریم که سیستم ریشه یک جبر لی آفین تعمیم یافته موضعی، یک سیستم ریشه آفین تعمیم یافته موضعی است. تعریفی از پوچی و پوچ-رتبه جبر لی آفین تعمیم یافته موضعی ارائه می دهیم و سپس چندین مثال از جبرهای لی آفین تعمیم یافته، جبرهای لی آفین تعمیم یافته موضعی و پوچ-سیستم ها ارائه می دهیم و در هر مثال پوچی و پوچ-رتبه را محاسبه می کنیم. به این ترتیب، پوچی و پوچ-رتبه های مختلفی را مشاهده می کنیم. در پایان، جبرهای لی آفین تعمیم یافته موضعی با پوچی صفر را طبقه بندی می نماییم و به طور مختصر در مورد جبرهای لی آفین تعمیم یافته موضعی رام بحث می کنیم.

وجود یک فرم مدرج غیر صفر روی یک چنبره لی به کمک وجود یک فرم مدرج غیر صفر روی چنبره های ساختارپذیر

در این پایان نامه ابتدا تعمیمی از مفهوم مدول کوهمولوژی موضعی که آن را مدول کوهمولوژی موضعی نسبت به یک زوج ایده آل (i,j) می نامیم را مطرح می کنیم سپس ویژگی های مختلف آن را مورد بررسی قرار می دهیم.در ادامه برخی از قضایای صفرشدن و صفرنشدن را برای این مدل تعمیم یافته از کوهمولوژی موضعی ارائه می دهیم، سپس به یک بررسی ارتباط بین مدول کوهمولوژی موضعی معمولی ومدول کوهمولوژی موضعی نسبت به یک زوج ایده آل می پردازیم. درپایان، آخرین مدول کوهمولوژی موضعیm)) h_(i,j)^dim?m رامورد بررسی قرار می دهیم و برخی نتایج در موردایده آل های اول چسبیده از مدول کوهمولوژی موضعی m)) h_(i,j)^dim?m را به دست می آوریم. هم چنین نشان می دهیم که مدول خارج قسمتی lازm موجود است، به طوری که m)) h_(i,j)^dim?m وl)) h_(i,j)^dim?m یکریختند. سپس تعمیمی از قضیه ی صفرشدن لیختن بام- هارتشون را برای مدول های کوهمولوژی موضعی از یک مدول با تولید متناهی نسبت به یک زوج ایده آل را ارائه می دهیم.