انتگرال یکی از مفاهیم مهم در آنالیز ریاضی و یکی از ابزار های مهم در تحلیل مسائل فیزیکی و مهندسی است، که در ارتباط با دو موضوع به وجود آمد یکی بازیافت یک تابع از مشتق آن، به عنوان مثال یافتن قانون حرکت یک جسم مادی در طول خط مستقیم وقتی سرعت جسم داده شده باشد و دیگری محاسبه مساحت محدود به نمودار یک تابع و محورx روی بازه [a,b] مانند محاسبه کار انجام شده به وسیله یک نیرو در یک بازه زمانی b ? a ?t. علاوه بر این، محاسبه مساحت دایره یکی از مسائل لاینحل ریاضیات باستان بود، تا زمانی که برای اولین بار ارشمیدس با محاط کردن چند ضلعی هایی در درون دایره و محاسبه مساحت چند ضلعی ها، مساحت دایره را با تقریب محاسبه کرد. هر چقدر که این چند ضلعی ها به دایره نزدیک تر می شدند مساحت چند ضلعی ها به مساحت دایره نزدیک تر می شد. اما به طور دقیق مساحت دایره از این طریق به دست نیامد. بعدها نیوتن به این دلیل که بسیاری از اشکال به گونه ای هستند، که نمی توان در آن ها چند ضلعی محاط کرد روش ارشمیدس را به کار نگرفت. و از روش الگوریتمی به محاسبه مساحت اشکال گوناگون پرداخت. کشی اولین کسی بود که مفهوم حد را معرفی کرد و در پی آن مفهوم پیوستگی و توابع پیوسته به وجود آمد. کشی در سال 1823 با توسیع کار ارشمیدس و با استفاده از مفهوم حد انتگرال معین یک تابع پیوسته f را روی [a,b] محاسبه کرد. او برای اولین بار انتگرال معین را به صورت حد مجموع معرفی کرد. اما توابعی که نیوتن و کشی با آن ها سروکار داشتند همگی انتگرال پذیر بودند. ریمان اولین کسی بود، که بحث توابع انتگرال ناپذیر را معرفی کرد، وی در سال 1853 انتگرال را به صورت یک تئوری جامع ریاضی مطرح کرد و از آن زمان تا به حال این نظریه بارها مورد تجدید نظر قرار گرفته است. تعمیم استیلجس از انتگرال ریمان در مقاله طولانی او در مورد کسرهای مسلسل نهفته بود. این مقاله در سال 1894 میلادی تدوین شده است. اهمیت مقاله او وقتی مشخص شد، که پس از 15 سال از تدوین این مقاله اف.ریس در قضیه نمایش ریس آن را به کار برد. هر چند نظریه انتگرال ریمان بسیار ساده و کاربردی است، اما محدودیت هایی نیز دارد. در اوایل قرن نوزدهم تعمیم هایی از انتگرال ریمان ارائه گردید، که معروفترین و بهترین این انتگرال ها انتگرال لبگ است. مقاله لبگ در سال 1902 میلادی منتشر شد. و هم اکنون یکی از ابزارهای قوی در آنالیز ریاضی، آنالیز تابعی و آنالیز هارمونیک است. هرچند نظریه انتگرال لبگ از لحاظ نظری بسیار قوی است، اما بر خلاف انتگرال ریمان روشی برای محاسبه آن وجود ندارد. ضمناً قضیه اساسی حساب برای انتگرال ریمان و لبگ در حالت کلی برقرار نیست. برقراری قضیه اساسی حساب در حالت کلی، انگیزه ای شد تا دنجوی در سال 1912 انتگرال جدیدی را مطرح کرد، که تعمیمی از انتگرال لبگ بود و قضیه اساسی حساب برای آن در حالت کلی برقرار بود. سپس در سال 1914 پرون تعمیمی دیگر از انتگرال لبگ را مطرح کرد، که برای آن نیز قضیه اساسی حساب در حالت کلی برقرار بود. اما انتگرال های دنجوی و پرون تا حدی تکنیکی بودند تا این که در سال 1950 کورزویل مدل تعمیم یافته انتگرال ریمان را معرفی کرد و سپس در سال 1960 هنستوک اصول اولیه آن را ساخت. این انتگرال یک نام استاندارد ندارد و آن را انتگرال هنستوک، هنستوک کورزویل، ریمان تعمیم یافته و یا انتگرال gauge نیز می نامند. که در این جا آن را انتگرال هنستوک می نامیم. علاوه بر این که ثابت می شود این انتگرال با انتگرال های دنجوی و پرون معادل است ]5[، نسبت به انتگرال لبگ محدودیت های کاربردی کمتری نیز دارد.در این تحقیق بعضی از روش های تعمیم یافته انتگرال ریمان را معرفی می کنیم، به ویژه روی انتگرال هنستوک تأکید خواهیم کرد. اگر چه تعریف انتگرال هنستوک بدون توسل به نظریه اندازه بیان می شود و کاملاً مشابه انتگرال ریمان است، اما این روش باعث بهبود بخشیدن به انتگرال های نیوتن، ریمان و لبگ می شود

نمایش ماتریسی عملگرهای خطی روی فضاهای با بعد متناهی ازار منحصر به فردی برای بررسی این دسته از عملگرهای خطی است. چند جمله ای ویژه آنها با توسل به دترمینان و به تبع آن مقادیر ویژه به سادگی قابل محاسبه است. قضیه کیلی همیلتون نشان می دهد چندجمله ای ویژه، پوچ ساز عملگر خطی است. از مقایسه چند جمله ای کمین (مولد پوچ ساز عملگر خطی) و چندجمله ای ویژه اطلاعات مفیدی در خصوص عملگر خطی حاصل می شود. کاپلانسکی با اندکی تعدیل در مقایسه وابستگی خطی و وابستگی خطی موضعی، این مفاهیم را به عملگرهای خطی روی فضاهای نامتناهی البعد گسترش داد. در واقع کیلی همیلتون روی فضای متناهی البعد و کاپلانسکی روی فضاهای نامتناهی البعد نشان دادند که مجموعه عملگرهای موضعاً وابسته خطی، وابسته خطی هستند. در فصل اول ثابت می کنیم که فضای تولید شده توسط خانواده ای از عملگرهای موضعاً وابسته خطی دارای عملگری پوچ توان است. چون استقلال و وابستگی موضعی از وجود بردارهای جداساز تاثیر می پذیرد در فصل دوم به بیان تعریف بردار جداساز و ویژگی های بردارهای جداساز یک فضا می پردازیم. در فصل سوم ثابت می کنیم که زیر فضای nبعدی از فضای عملگرهای خطی متشکل از تمام عملگرهای غیر صفر با رتبه بزرگتر از nباشد، دارای بردار جداساز می باشد. در فصل سوم به کمک عملگرهای موضعاً وابسته خطی فضای انعکاسی را تعریف می نماییم. لی و پن در سال 2003 ثابت نمودند که زیر فضای n بعدی از فضای عملگرهای خطی متشکل از تمام عملگرهای غیر صفر با رتبه بزرگتر یا مساوی n^2 باشد، زیر فضایی انعکاسی است. بعلاوه به گسترش مفاهیم فوق می پردازیم و رابطه میان انعکاسی بودن زیرفضا و بردار جداساز داشتن فضا را بررسی می نماییم. در فصل چهارم شبکه و فرم های مقدماتی روی فضای موضعاً محدب را تعریف می نماییم. و به بیان ارتباط بین انعکاسی بودن زیرفضا و شبکه زیرفضاهای پایا می پردازیم. در ادامه این فصل، رابطه ای که میان فرم های مقدماتی و زیرفضاهای پایا وجود دارد را مشخص می سازیم.

مولفه های همبندی طیف عملگرهای خطی نقش به سزایی در تجزیه عملگرهای خطی دارند. نقاط تنهای طیف نوع خاصی از این مولفه ها هستند. این نقاط، نقاط منفرد حلال عملگرهای خطی هستند. در این نوشتار نقاط تنهای طیف و طیف پوشایی مورد بررسی قرار میگیرد

در این پایان نامه عملگرهای ضربی را روی جبر تمام عملگرهای خطی و کراندار که روی فضای هیلبرت h تعریف می شوند، معرفی می کنیم و خواص ویژه ی این دسته از عملگرها را مورد بررسی قرار می دهیم و نرم آنها را نیز بدست می آوریم. هم چنین عملگرهای مقدماتی را با استفاده از عملگرهای ضربی تعریف می کنیم و رده های خاص این عملگر از قبیل عملگرهای مشتق درونی، عملگرهای مشتق تعمیم یافته و عملگر مقدماتی ژوردن را معرفی می کنیم و نرم این عملگرها را بدست می آوریم. در پایان، نرم عملگر مقدماتی را با استفاده از عملگرهای قطری محاسبه می کنیم.

مولفه های همبندی طیف عملگرهای خطی نقش بسزایی در تجزیه عملگرهای خطی دارند. نقاط تنهای طیق نوع خاصی از این مولفه ها هستند. این نقاط، نقاط منفرد حلال عملگرهای خطی می باشند. علی الخصوص وقتی این نقاط قطب های حلال عملگرهای خطی هستند نقش بسیار مهم و کاربردی دارند. در این نوشتار نقاط تنهای طیف و طیف پوشایی مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین مفاهیم هسته تحلیلی و بخش شبه پوچتوان عملگرهای خطی برای مطالعه ی نتایج مهم به کار گرفته شده است.

دانشگاه بیرجند دانشکده علوم خود توان ها و نگاشت های حافظ خودتوان امان ا.. اسدی، حسین زنگوئی گروه ریاضی دانشگاه بیرجند، [email protected] چکیده در این مقاله خود توان ها را در جبر های باناخ و بطور خاص در جبرهای باناخ b(x) و b(h) معرفی می کنیم و نشان می دهیم که می توان هر عضو از فضای b(h) را بصورت مجموع پنج تصویر یا ترکیب خطی شانزده تصویر متعامد نوشت. همچنین ساختار نگاشت های حافظ خودتوان در b(x) را مشخص خواهیم کرد که توسیعی از نتیجه آوچینیکوف در b(h) می باشد. واژه های کلیدی: تصویر؛ خودتوان؛ حافظ جابجایی مقدمه معمولاً هر جا که عمل ضرب قابل تعریف باشد خودتوان هم تعریف می شود ولی در این مقاله ما خودتوان را برای جبر باناخ تعریف می کنیم. تعریف1-1: اگر a یک جبر باناخ باشد عنصر e?a را خودتوان می گوییم هرگاه e^2=e. خودتوان های b(x) ( جبر عملگر های کراندار روی فضای باناخ x ) را تصویر می نامیم. در b(h) حالت خاص تری از تصاویر قابل تعریف هستند. تعریف1-2: عملگر p?b(h) را یک تصویر متعامد می نامیم هرگاه p^2=p وn(p)? r(p). تصاویر متعامد عملگر های خودالحاق و مثبت هستند. خاطر نشان می کنیم که همه تصاویر متعامد نیستند. ولی هر تصویر با یک تصویر متعامد، متشابه هست. تعریف1-3: دو تصویر p و q را نسبت به هم متعامد خوانیم اگر pq=qp=o و می نویسیم p?q. تعریف1-4: اگر p و q دو تصویر باشند گوییم عملگر p از q کوچکتر است(p? q) هرگاه pq=qp=p . بررسی خواص جبری تصاویر گزاره های زیر براحتی اثبات می شوند که ارتباط بین ترتیب و تعامد را با عمل های جبر نشان می دهند. گزاره2-1: اگر p و q دو تصویر متعامد در b(h) باشند آنگاه p+q تصویر متعامد است اگر و تنها اگر p?q . گزاره2-2: اگر p و q دو تصویر متعامد باشند، آنگاه p-q تصویر متعامد است اگر و تنها اگر q?p. قضیه2-3: فرض کنید p و q دو تصویر نه لزوماً متعامد در b(h) باشند اگر ? و ? دو عدد مختلط غیر صفر باشند و ?+??0 آنگاه معکوس پذیری ?p+?q مستقل از انتخاب ? و ? است. اثبات: [2] گزاره2-4: اگر p و q دو تصویر متعامد باشند آنگاه pq تصویر متعامد است اگر و تنها اگر p و q با هم جابجا شوند. قضیه2-5: فرض کنید p_j (1?j?r) تصاویر متعامد روی زیر فضاهای بسته m_j از فضای هیلبرت h باشند و فرض کنید p_m تصویر متعامد روی m=m_1? ? m?_2…? m_r باشد اگر t=p_r p_(r-1)…p_1 آنگاه دنباله {t^k} به p_m همگرای قوی است وقتی که k?? . اثبات:[4] همانطور که دیده می شود، وقتی دو تصویر متعامد جابجا نمی شوند حاصل ضرب آنها تصویر متعامد نیست ولی دنباله توانی آن به یک تصویر متعامد همگرا می شود. در ادامه نشان می دهیم که تصاویر سنگ بنای سایر عملگرها هستند. یعنی می توان سایر عملگرها را در حالت کلی بر حسب تصاویر نوشت. استمفلی (1963) نشان داد که هر عملگر کراندار روی فضای هیلبرت جدایی پذیر از بعد نامتناهی را می توان به صورت مجموع 8 تصویر نوشت. اما بعد از سه سال پیرسی و تاپینگ موفق شدند این تعداد را به پنج تصویر کاهش دهند. قضیه 2-6: هر عملگر روی h مجموع پنج تصویر است. آنها همچنین ثابت کردند که قضیه2-7: هر عملگر خودالحاق در ? ترکیب خطی حقیقی 8 تصویر متعامد است. اثبات:[6] در نتیجه هر عملگر دلخواه b(h) را می توان بصورت ترکیب خطی شانزده تصویر متعامد نوشت. نگاشت های حافظ خودتوان در سال 1993 پیتر شمرل نشان داد که در جبر ماتریسها عملگرهای حافظ تصویر روی m_n (جبر همه ماتریس های n×n مختلط ) همان همریختی های ژوردان هستند[1]. ولی هدف اصلی ما پرداختن به نگاشت های دوسویی حافظ تصاویر می باشد. در این قسمت x فضای باناخ و p(x)? b(x) مجموعه همه ی تصاویر خواهد بود. برای بررسی نگاشت های حافظ تصویر در حالت کلی تر ابتدا تعاریف زیر را بیان می کنیم. تعریف3-1: نگاشت دو سویی ?? p(x)? p(x) را حافظ ترتیب در هر دوسو می نامیم هرگاه به ازای هر p,q?p(x) ، p?q اگر و تنها اگر ?(p)??(q). تعریف3-2: نگاشت دو سویی ?? p(x)? p(x) را حافظ تعامد در هر دوسو می نامیم هرگاه به ازای هر p,q?p(x) ، p ? q??(p)??(q). در سال 1993 آوچینیکوف ثابت کرد که اگر dim?(h)?3 و p(h) مجموعه مرتب جزئی متشکل از همه تصویر های جبر باناخ b(h) باشد، آنگاه هر خودریختی? روی p(h) یک نگاشت دو سویی است که حافظ ترتیب در هر دو جهت می باشد و نمایشی به صورت p?ap^* a^(-1) یا p?apa^(-1) دارد که در آن a نیم خطی دو سویی است هنگامی که h متناهی البعد است و یا این که a عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار است هنگامی که h نا متناهی البعد است. [5] ابتدا کار آوچینیکوف بصورت زیر توسیع یافت. قضیه 3-3: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد و ?? p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ تعامد در هر دوسو باشد. آنگاه عملگر خطی یا (در حالت مختلط) مزدوج خطی معکوس پذیر کراندار t? x?x وجود دارد بطوری که ?p ?p(x) ?(p)= tpt^(-1) یا یک عملگر خطی یا (در حالت مختلط) مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x وجود دارد بطوری که ?p ?p(x) ?(p) = tp^* t^(-1) ?? که در این حالت باید x بازتابی باشد. [7] امّا پیتر شمرل ثابت کرد نگاشت های حافظ ترتیب و تعامد یکسانند بدین صورت اثبات دیگری از نتایج آوچینیکوف ارایه شد. همچنین از دیدگاه حافظ جابجایی به نگاشت های حافظ تصویر پرداخت. تعریف3-4: نگاشت دوسویی ?? p(x)? p(x) را حافظ جابجایی در هر دو طرف خوانیم هرگاه pq = qp??(p)?(q) = ?(q)?(p) به ازای هر p,q ? p(x) . فرض کنید ?? p(x)?{0,1} نگاشتی دارای این ویژگی باشد که به ازای هر p? p(x)،? (p) = 1?? (i-p) =1 . اکنون نگاشت ?? p(x)? p(x) را با ضابطه ی ?(p) = ? (p)p + (1-?(p))(i ??-p) تعریف می کنیم. این نگاشت را تبدیل متعامد روی p(x) می نامیم برای هر p?p(x) این نگاشت هر یک از p و i-p را به خودش یا دیگری تصویر می کند. بسادگی دیده می شود که این نگاشت دوسویی و حافظ جابجایی در هر دو جهت می باشد. قضیه اصلی ما این است که نشان دهیم هر نگاشت دوسویی حافظ جابجایی روی p(x) ترکیبی از این نگاشت ها می باشد. قضیه3-5: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد مختلط و ? : p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ جابجایی در هر دوسو باشد. آنگاه یک تبدیل متعامد ?? p(x)? p(x) و عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x ? x وجود دارد بطوری که به ازای هر p ?p(x) داریم ?(p) = t?(p)t^(-1) ?? یا یک عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x بطوری که ?(p) = t??(p)?^* t^(-1) ?? و در این حالت باید x بازتابی باشد. اثبات:[8] از آنجا که ثابت می شود هر نگاشت حافظ تعامد حافظ جابجایی نیز هست بی درنگ نتیجه ی زیر از دو قضیه بالا گرفته می شود که خود اثبات دیگری از نتایج آوچینیکوف می باشد. نتیجه3-6: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد مختلط و ? : p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ ترتیب در هر دوسو باشد. آنگاه عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t: x?x وجود دارد بطوری که به ازای هر p ?p(x) داریم ?(p) = tpt^(-1) ?? یا یک عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x بطوری که ?(p) = tp^* t^(-1) ?? و در این حالت باید x بازتابی باشد. references [1] m. bre?ar, p. ?emrl, mappings which preserve idempotents, can. j. math. vol. 45 (3), (1993), 483-496. [2] h. k. du, x. y. yao, c. y. deng, invertibility of linear combinations of two idempotents, amer. math. soc. 134 (2006), 1451–1457. [3] n. j. kalton, sums of idempotents in banach algebras, canad. math.bull. vol. 31 (1988), 448-451. [4] a. netyanun, d. c. solmon, iterated products of projections in hilbert space, the mathematical association of america, [ monthly 113 august-septamber 2006], 644-648 [5] p. g. ovchinnikov, automorphisms of the poset of skew projections, j. funct. anal. 115 (1993), 184-189. [6]c. pearcy, d. topping, sums of small numbers of idempotents, michigan math. j. 14 (1967), 453–465. [7] p. ?emrl, non-linear commutativity preserving maps, acta sci. math. (szeged) 71 (2005), 781-819. [8] p. ?emrl, maps on idempotents, studia mathematica 169 (1) (2005), 21-44.