فصل اول را با ارایه مفاهیم پایه ای از نظریه گراف و متروید آغاز می کنیم.مطالعه ی این فصل،زمینه لازم را جهت ارایه بحث اصلی فراهم می سازد.از آنجا که مطالب این پایان نامه ارتباط زیادی با مترویدهای ترنسورسال ومینورها دارد،فصل دوم را به بررسی این مفاهیم اختصاص داده ایم.همچنین در انتهای این فصل به معرفی یک عملگر خارج قسمتی که آن را انقطاع نامیده ایم،پرداختیم.در فصل سوم مترویدهای مسیر مشبکه ای و ساختار آنها را معرفی کردیم.همچنین در این فصل به معرفی فلت های اصلی و pnc-فلت های این متروید ها را که در فصل چهارم برای اثبات قضیه اصلی نقش مهمی را ایفا می کند،پرداختیم.در انتها فصل چهارم را به بیان و اثبات قضیه اصلی اختصاص دادیم.در این فصل مینورهای حذف شده متروید های مسیر مشبکه ای معرفی شده و با استفاده از آن می توانیم متروید های مسیر مشبکه ای را مشخص کنیم،قبل از اثبات قضیه اصلی چند لم مهم را بیان و اثبات می کنیم،که به کمک آنها قضیه اصلی اثبات می شود.این پایان نامه بر اساس مقاله زیر تهیه وتنظیم شده است: joseph e.bonin,lattice path matroids:the excluded minors,juvnal of combinatorial theory,series b(2010)585-599

یکی از مباحث مهم در نظریه ی متروید‏، نمایش پذیری و غیر-نمایش پذیری مترویدها روی میدان های مختلف می باشد. در این پایان نامه به بررسی غیر-نمایش پذیری مترویدها روی میدان ‎‎gf(5)‎ ‎ پرداخته و یک اثبات کوتاه برای چنین مترویدهایی مطرح می کنیم. ‎فصل‎ اول شامل مفاهیم و اصطلاحات مقدماتی از نظریه ی گراف و متروید می باشد که به ترتیب از کتاب آشنایی با نظریه ی گراف وست و نظریه ی متروید آکسلی استفاده شده است. ‎در فصل دوم متروید های تماماً آزاد را معرفی کرده و ویژگی این مترویدها را با استفاده از قضایایی بیان می کنیم. این مترویدها از مفاهیم اساسی این پایان نامه می باشند و نقش مهمی در اثبات قضایا دارند. سپس به معرفی رده ی خاصی از این مترویدها می پردازیم. ‎در فصل سوم ابتدا کوچکترین متروید های تماماً آزاد را شناسایی کرده‏، سپس مترویدهای تماماً آزاد روی میدان های کوچک را معرفی می کنیم و با بیان و اثبات لم ها و قضایای به بررسی ویژگی های این مترویدها می پردازیم و در ادامه قضیه ی اصلی این فصل که تعمیمی از دو قضیه ی مهم فصل دو می باشد را بیان و اثبات می کنیم. ‎ ‎‎در فصل‎‎ آخر برای متروید هایی که روی ‎‎gf(5)‎ ‎‏‎ قابل نمایش نیستند‏‏، قضیه ای با یک اثبات کوتاه بیان می کنیم.

این پایان نامه شامل پنچ فصل می باشد. در فصل اول ابتدا چند تعریف مقدماتی از نظریه گراف را می آوریم. سپس تعاریف مقدماتی از نظریه متروید را ارائه کرده و چند قضیه از منابع مورد استفاده بدون اثبات، ارائه می شود که این قضیه ها در اثبات احکام به کار رفته در این پایان نامه نقش عمده ای دارند. در فصل دوم ابتدا قضیه هایی از مترویدهای 3-همبند ارائه شده است سپس تعاریف و قضیه های مترویدهای 3-همبند 2-هم مینیمال ، 2-مینیمال که برای اثبات قضایای اصلی لازم است بیان شده است. در فصل سوم ابتدا گزاره ها و لم های مورد نیاز بیان و اثبات می شود و اولین قضیه اصلی با ترکیب کردن گزاره ها و لم ها اثبات خواهد شد. اولین قضیه اصلی نشان می دهد که یک متروید از رتبه حداقل هفت، 3-همبند 2-هم مینیمال ، 2-مینیمال است اگر وتنها اگر یک اسپایک باشد. در فصل چهارم نیز ابتدا گزاره ها و لم های مورد نیاز بیان و اثبات می شود و دومین قضیه اصلی نیز با ترکیب کردن گزاره ها و لم ها اثبات خواهد شد. در این فصل تمامی مترویدهای 3-همبند 1-هم مینیمالی، 2-مینیمالی مشخص می شوند. در فصل پنجم مترویدهای 3-همبند 2-مینیمالی را شناسایی کرده و قضایای آن ها اثبات می شود و در پایان مترویدهای اجتناب ناپذیر را تعریف کرده و قضایای آن نیز ثابت می شود. قضایای اصلی این پایان نامه عبارتند از : اولین قضیه اصلی : اگر $m$ یک متروید 3-همبند 2-هم مینیمالی ، 2-مینیمالی با رتبه بیشتر یا مساوی با پنچ باشد، آن گاه $m$ یک اسپایک، یا یکریخت با یکی از مترویدهای $h_{10}$، $r_{10}$ و $h_{12}$ می باشد. برعکس، اگر $m$ یک اسپایک با $r(m)geq 4$ باشد، آن گاه $m$ ،3-همبند 2-هم مینیمالی، 2-مینیمالی است. دومین قضیه اصلی : یک متروید 3-همبند 1-هم مینیمالی ، 2-مینیمالی است اگر و تنها اگر یکریخت با $f_7$، $ar{f_7}$ یا $m^*(k_{3,n})$ برای هر $ngeq 3$ باشد. این پایان نامه بر اساس مقاله زیر تهیه و تنظیم شده است:

در این پایان نامه عمل شکافتن حذفی روی گرافها به مترویدهای دودویی تعمیم داده می شود و سپس ارتباط بین مترویدهای حاصل از این عمل و مترویدهای دودویی اصلی از لحاظ ماتریسهای متناظر و.. مورد بررسیقرار گرفته و درپایان یک سری کاربردهای جالبی از این عمل ارائه خواهد شد.

در این پایان نامه نوع دیگر از مترویدهای به هم آمیخته را معرفی و مطالعه می کنیم.جبر بولی وفیلتر ،ایده آل در مترویدها تعریف میشود.مترویدهای جور شده را معرفی کرده و نشان می دهیم که برای مترویدهای (m(aو (n(bبه طوریکه در شرط زیر صدق کنند: (n|(b?a) =m.(b?aیعنی جور شده باشند،یک چسباندن از mوn تعریف می کنیم که این متروید،متروید l روی a?bبه طوریکه m=l| aوl.b=n باشد.نشان می دهیم که چنین چسباندن برای هر زوج از مترویدهای mوnکه جور شده می باشند وجود دارد،به علاوه ترتیب قوی و ضعیف تعریف شده و توسط مرتب کردن همه ی چسباندنها از دو متروید در ترتیب ضعیف نشان می دهیم آزادترین چسباندن وجود دارد که چسباندن آزاد می نامیم.ارتقا هیگز را تعریف کرده و مشخص می کنیم که ارتقا هیگز iام از n_0نسبت به m_1 چسباندن آزاد است. مینورهایی از چسباندن آزاد و فعل و انفعال بین چسباندن آزاد و چند عمل دیگر(حاصلضرب آزادو جمع مستقیم و... )بر روی متروید ها رامطالعه می کنیم.با اینکه چسباندن آزاد عمل شرکت پذیر نیست ثابت می کنیم حالت ضعیف از شرکت پذیری است و همچنین سه تایی هایی که در شرکت پذیری صدق می کنند رامشخص می کنیم.

در این تحقیق گراف دوری متروید را این چنین بدست می آوریم: در گراف دوری متروید رأس ها، دورها می باشند و یال ها زوج های cc هستند که o و c با هم اشتراک دارند. و همچنین طی قضیه ای ثابت می شود که گراف دوری از متروید همبند با حداقل 4 دور، به طور یکنواخت همیلتنی است.

در حدود سال 1969یک مدل از مترویدهای نامتناهی توسط هیگز پیشنهاد شد که b-متروید نامیده می شدند و ویژگیهای مشترک زیادی با مترویدهای متناهی داشتند. ولی تعریف و ارائه ی هیگز قابل دسترس نبود و با اینکه آکسلی یک تعریف خیلی ساده تر ارائه کرد و تعدادی از قسمت های اساسی را ساخت سودمندی نظریه ی هیگز همچنان مبهم ماند. دیستل نشان داد که مترویدهای نامتناهی می توانند همانند مترویدهای متناهی به وسیله ی مجموعه های مستقل،پایه ها ، دورها و بستارها توصیف شوند. در این پایان نامه یک تابع همبندی برای مترویدهای نامتناهی معرفی می کنیم که ویژگیهایی شبیه به تابع همبندی مترویدهای متناهی دارد، همچون زیرمدولاری و تغییرناپذیری تحت دوگانی. سپس به عنوان یک کاربرد، آن را در توسعه ی قضیه ی پیوندی تات برای مترویدهای متناهیاً تولیدشده و هم- متناهیاً تولید شده استفاده می کنیم.

در ا?ن پا?ان نامه، اصولی را ارائه می ده?م و اثرات آن را بر روی مترو?د دوری و بند از گراف های نامتناهی بررسی کن?م. ماهمچن?نمترو?دهای دوریجبری را توصیف ودوگان انهارابررسمی کن?م. سرانجام?ک شرط کافی برای نما?ش پذ?ر بودن این نوع از مترو?دهاراپ?دام کن?م. وآن رابانما?ش پذ?ربودنمترو?دهاینامتنامقا?سهمی کن?م. نما?ش پذ?ربودنمترو?دهایگراف?ک تحتا?نشرا?ط مسأله ی بازباقی می ماند.

آکاتا همه مترویدهای پرداخت شده دودویی را تعیین کرده است. این پایان نامه همه مترویدهای پرداخت شده سه سه یی را تعیین می کند. دقیقا چهار مینور ماکسیمال 3-همبند از چنین مترویدهایی وجود دارد:s(5,6,12), pg(2,3) , مکعب آفینی حقیقی و دیگری یک متروید خود دوگان 8 عضوی است.

مترویدهای با حداقل دو عضو منظم را برای دست یابی به جواب مسئله ی سیمور بررسی می کنیم

مفهموم کافی توصیفی ویژگی زیرگردایه ای از فلت ها ی یک متروید می باشد که با فلت های اساسی و یک الگوریتم در ارتباط است. این الگوریتم برای ساختار بنای یک متروید دلخواه بر حسب زیر گردایه های کافی توصیفی خاص از فلت ها به کار میرود.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.