خواص مجموعه های احاطه کنندگی کلی k-تایی مینیمال را بررسی می کنیم و خواهیم دید که مسئله ی تشخیص مجموعه های احاطه کننده ی کلی k-تایی در گراف ها را می توانیم به مسئله ی تشخیص k-تقاطع در ابر گرافها تبدیل میکنیم و این عدد را برای گرافهای چند بخشی (کامل)و مکعبهای دوبخشی می یابیم. در ادامه، یک کران بالا برای عدد احاطه کنندگی کلی k-تایی در حالت کلی ارائه می دهیم. عدد احاطه کنندگی k-تایی را در گرافهای قویاً قطری که زیر گرافی از گرافهای قطری اند را بررسی می کنیم و ثابت می کنیم که مسئله ی احاطه کنندگی k-تایی برای گرافهای شکافته شدنی و گرافهای دو بخشی یک مسئله np-کامل است. در پایان عدد احاطه کنندگی 2-تایی را گرافهای تصادفی و گرافهای هراری یافته و یک کران را برای عدد احاطه کنندگی کلی k-تایی برای گرافهای ابر توسعه یافته پترسن ارائه خواهیم داد.

رای فابیلا مونروی و همکاران در (7) بصورت زیر به معرفی گراف نشان پرداخته اند. به ازای گراف g و عدد صحیح 1 ≤ k گراف نشان (fk(g گرافی است با مجموئه رئوس همه ی زیر مجموعه های k تایی از(v(g که در آن دو راس در (fk(g زمانی مجاورند که تفاضل متقارنشان یک زوج رأس مجاور در g باشد. در این پایان نامه به بررسی خواص از گراف نشان از جمله همبندی، قطر ، عدد خوشه ، عدد رنگی ، مسیر های همیلتنی ، و حاصلضرب دکارتی گراف نشان می پردازیم.

مسئله یکریختی برای گراف ها یکی از مسائل اساسی در نظریه گراف است. در این پایان نامه به بررسی این مسئله برای گراف های کیلی و سوگراف های کیلی پرداخت می شود. به ازای گروه های متناهی ? و ?، شرایطی ارائه می شود تا هر گراف کیلی از ? با یک گراف کیلی از ? یکریخت باشد. همچنین نشان داده می شود که هر گراف کیلی از یک گروه مشخص از مرتبه 12 با یک گراف کیلی از گروه دووجهی از مرتبه 12 یکریخت است. به طور مشابه نشان داده می شود که هر گراف کیلی از گروه دوری از مرتبه 2k با یک گراف کیلی از گروه دووجهی d_k یکریخت است، و بر عکس آن برقرار است اگر و تنها اگر k?{2,3,5}. برای سوگراف های کیلی نیز نشان داده می شود که به ازای هر{2?}_(?=1)^(k-1) h?، سوگراف کیلی z_2k [h] با یک سوگراف کیلی در d_k یکریخت است. در این پایان نامه، همچنین مسئله یکریختی ها و گروههای خودریختی از سوگراف های کیلی بررسی می شود.

محاسبه مرتبه یاتعیین ساختار گروه خودریختی ها در توسیع گروه ها حایز اهمیت است که می توان معین کرد از مرتبه معلوم چند گروه وجود دارد. اما غالبا این مسئله مشکل است یکی از اساسی ترین رهیافت ها به ساختار یا مرتبه گروه خودریختی ها حل همان مسئله برای گروه خودریختی های مرکزی است که زیرگروهی از گروه خودریختی ها است. در این پایان نامه برای گروه های به طور محض غیرآبلی نشان می دهیم که گروه خودریختی های مرکزی چنین گروهی با گروه همریختی های از گروه به مرکز در تناظر یک به یک است. مرتبه گروه اخیر به راحتی به دست می آید. بنابراین مرتبه گروه خودریختی های مرکزی به دست می آید. در ادامه ناشن می دهیم هر گاه یک گروه و مرکزش جفت کامینا تشکیل دهند یا گروه از رده 2 باشد یا زیرگروه سیلوی آبلی داشته باشد آنگاه مرتبه خود گروه مرتبه گروه خودریختی های آن گروه را می شمارد. این موضوع حالت خاصی از مسئله ای است معروف به حددس شنکمن که سالها بدون جواب مانده بوده اما اخیراً معلوم شده است که این حدس نادرست است.

‏در این پایان نامه به مطالعه یکی از نظریه های جذاب صد سال اخیر ریاضی بنام نظریه رمزی می پردازیم. به بیان دقیق تر در این پایان نامه‏، به بیان صورتهای مختلفی از قضیه ای موسوم به قضیه رمزی که خود تعمیمی از اصل لانه کبوتری است پرداخته و از آن عددی موسوم به عدد رمزی را برای گرافها و ابرگرافها تعریف می کنیم. بیان برخی از نتایج شناخته شده در این مورد کار بعدی ما است. در فصل آخر نیز به اثبات مقدار دقیق عدد رمزی ‎r(cn; cn)در ابرگرافهای کامل 3-یکنواخت می پردازیم که در آن ‎‎cn یک‎‎ دور با طول n‎‎ موسوم به دور شل است.