در این پایان نامه مسئله مکانیابی تدافعی که در واقع نوع نسبتا جدیدی از دسته مسائل مکانیابی است پرداخته شده است. در این مسئله یک تصمیم گیرنده تسهیلات تدافعی خود را روی یک شبکه برای حفاظت از یک مکان مهم به نام هسته مکانیابی میکند.شرایط مکانیابی نیز به گونه ایست که مهاجم با برخورد به هر کدام از تسهیلات به اندازه ظرفیت دفاعی آن از توان مهاجم کاسته میشود, وقتی توان مهاجم به صفر برسد, مهاجم خواهد مرد. علاوه بر معرفی مسئله و توسعه آن به حالت پیوسته، این مسئله به سه روش ابتکاری حل شده است.روشهای ابتکاری پیاده شده عبارتند از: روش جستجوی ممنوعه و روش جستجوی همسایگی متغیر در حالت گسسته و روش الکترو مغناطیس برای حلات پیوسته. در انتها نتایج محاسباتی بر روی چند نمونه عددی نشان داده شده اند و با یکدیگر مقایسه شده اند.

موضوع تعیین انرژی یک مولکول همواره مورد علاقه دانشمندان علم شیمی بوده است و برای محاسبه آن از فرمول های انتگرالی استفاده می کردند. از آنجا که برای نمایش ساختار هر مولکول از گراف استفاده می شود لذا در چند دهه اخیر دانشمندان ریاضی نیز سعی کرده اند از خواص گراف ها در محاسبه انرژی مولکولی استفاده نمایند و راه حل ساده تری برای محاسبه انرژی مولکولی بیابند. کمیت محاسبه شده از این طریق را انرژی گراف نامیده اند که تقریبا هم ارز انرژی مولکول متناظرش است. در این پایان نامه سعی شده است تا موضوعات مربوط به انرژی انواع گراف ها مورد مطالعه قرار گیرد و یک دسته بندی از آن ارائه گردد. به این منظور، در فصل اول به مفهوم طیف گراف و کران های آن پرداخته شده است. در فصل دوم رابطه طیف گراف با انرژی و بیان کران هایی که برای انرژی گراف با استفاده از روابط ساده ریاضی وجود دارد، ارائه شده است. در فصل سوم انرژی درخت ها و گراف های بدون دور بیان شده است و درخت هایی که دارای بیشترین انرژی و کمترین انرژی هستند مورد بررسی قرار گرفته شده اند. در فصل چهارم انرژی گراف های دوبخشی و کران بالا وپایین آن ها ارائه شده است. در فصل پنجم انرژی گراف های دوری و تک دوری و بیان حدود انرژی این دسته از گراف ها پرداخته شده است. در فصل ششم انرژی گراف های منتظم و خطی محاسبه شده است و در فصل هفتم نیز انرژی، برای دسته ای از گراف ها به نام گراف اسپایدر بررسی شده است و کران بالا و پایین برای ان ارائه شده است.

یکی از کاربردهای نظریه گراف در علم شیمی، بررسی انرژی گراف های مولکولی می باشد. محققین ریاضی- شیمی انرژی گراف را هم ارز انرژی - الکترون کلی ساختارهای بنزنی تعریف نموده اند. در این پایان نامه این موضوع مورد بررسی و تحقیق قرار گرفته است و نتایج جدیدترین تحقیقات انجام شده در زمینه انرژی سیستم های بنزنی را از دیدگاه نظریه گراف گرد آوری نموده ایم. بدین منظور در ابتدا انرژی گراف را بررسی و در قسمت های بعدی ساختارهای بنزنی و خواص توپولوژیکی آنها را معرفی می نماییم. از آنجا که تنوع این سیستم ها زیاد است لذا بررسی انواع آنها کار پیچیده ای می باشد، اما در این کار سعی شده حتی الامکان از هر دسته یک نمونه بررسی شود. این ساختارها به دو دسته کاتاکاندنس و پری کاندنس تقسیم می شوند. که در این مجموعه از دسته اول دو نوع شاخه دار و بدون شاخه را بررسی کرده و برای هر نوع یک رابطه ترتیبی ارائه می شود، و از دسته دوم تنها زنجیرهای شش ضلعی دوگانه را معرفی کرده و رابطه ای ترتیبی برای آنها ارائه می گردد. اما از آنجا که برای محاسبه انرژی گراف، نیاز به محاسبه مقادیر ویژه داریم و این محاسبات برای گراف های بزرگ کاری سخت و پیچیده است؛ در این مجموعه سعی شده است که روشی ارائه گردد تا با استفاده از آن حجم محاسبات تا حد امکان کاهش یابد، بدین منظور بر نامه ای برای محاسبه انرژی سیستم های شش ضلعی عنکبوتی طراحی و یک روش بهینه برای محاسبه انرژی سیستم های متقارن ارائه گردیده است.

در دنیای اطراف ما، وضیعت¬های فراونی وجود دارند که می¬توان توسط نظریه گراف به توصیف آنها پرداخت. به¬عنوان مثال، فرض کنید که کشور¬ها نماینده رئوس در گراف¬ و یال¬ها هم روابط ممکن بین کشور¬ها باشند. مجموعه چند کشور تشکیل یک اتحاد می¬دهند هرگاه هر کشور در داخل آن مجموعه حداقل همان اندازه که دوست دارد به¬همان اندازه دشمن در خارج این مجموعه داشته باشد. به¬عبارت دیگر مجموعه¬هایی از رئوس در گراف تشکیل اتحاد می¬دهند هرگاه هر رأس در این مجموعه، حداقل همان اندازه که با رئوس داخلی مجموعه مجاور است به¬همان اندازه مجاور، با رئوس بیرونی این مجموعه باشد چنین اتحادی را اتحاد دفاعی می¬گوییم که اولین بار توسط استیفان هدیتنمی و همکارانش در سال 2001 در مقاله¬ای تحت عنوان اتحاد در گراف مطرح شد. از آن پس این موضوع مورد بحث و بررسی قرار گرفت که در سایه این تلاش¬ها اتحادهای دیگری هم تعریف شد که شامل اتحاد تهاجمی و اتحاد نیرومند است. اخیراً در سال 2007 رابرت سی بریقام و همکارانش تعریف جدیدی به عنوان مجموعه امن ارائه کردند که تعریف¬شان مبتنی بر زیرمجموعه¬های یک مجموعه بود. در فصل اول مفاهیم و مقدمات نظریه گراف که در فصل¬های بعد به آن نیازمندیم را یاد آوری می¬کنیم. در فصل دوم اتحادها را به¬طور کامل بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم شرایط لازم و کافی براینکه یک مجموعه امن باشد را معین می¬کنیم و در آخر این فصل کران¬هایی برای کوچکترین مجموعه امن بدست می¬آوریم. همچنین در فصل چهارم ما اتحاد باز که یکی از مسایل باز است را مورد مطالعه قرار می¬دهیم و بسیاری از خواص این مفهوم را استخراج کرده، سپس روی کران¬های آن بحث می¬کنیم.

مفهوم احاطه گری در گراف های فازی، هم از نظر تئوری و هم کاربردی، بسیار ارزشمند می باشد. در گراف فازی با مجموعه رئوس ، ، مجموعه احاطه گر فازی نامیده می شود هرگاه هر رأس ، توسط رأسی مانند احاطه شده باشد. در بیشتر مسائلی که تاکنون در مورد احاطه گری در گراف ها مطرح شده است، داده ها و اطلاعات مربوط به مسئله دقیق و مشخص است و وجود رأس ها و یال های گراف به صورت قطعی می باشد. در حالی که در دنیای واقعی ما نوعاً با داده ها و اطلاعات غیر قطعی مواجه هستیم. در گراف های فازی بر خلاف گراف های معمولی وجود رأس ها و یال ها بر اساس درجه تعلق نسبت داده شده به آنها مشخص می شود. که مقدار درجه تعلق رأس ها و یال ها عددی بین صفر و یک می باشد. احاطه گری در گراف ها در حل مسائل شاخه های مختلف علوم کاربردی مانند مسائل مکانیابی مورد استفاده قرار می گیرد. بدین ترتیب بررسی مفاهیم جدیدی مانند احاطه گری در گراف های فازی ضرورت پیدا می کند. در فصل اول تعاریف و مفاهیم اولیه در گراف های فازی ارائه شده است. درفصل دوم پارامتر های مختلف احاطه گری در گراف فازی و کرانهایی از آنها مطرح شده است. همچنین تغیرات عدد احاطه گری فازی در اثر افزایش و کاهش رأس ها و یال ها بیان شده است. و نیز در این فصل مفهوم احاطه گری در ترکیب، ضرب دکارتی و ضرب مطلق گراف های فازی بررسی شده است. در فصل سوم احاطه گری فازی قوی و احاطه گری فازی ضعیف مطرح شده است. در فصل چهارم به معرفی مفاهیمی دیگر از گراف های فازی مانند عدد پوشش رأسی، عدد پوشش یالی و تطابق در گراف های فازی پرداخته و ارتباط برخی از این مفاهیم با عدد احاطه گر فازی مورد بررسی قرار گرفته است. در فصل پنجم ابتدا قضایای جدیدی از احاطه گری در گراف های فازی را به اثبات می رسانیم. در انتها کاربرد هایی از احاطه گری فازی در حل برخی از مسائل مانند مکان یابی مراکز خدماتی، تعیین ایستگاه های رادیویی، شبکه های کامپیوتر و ... را مطرح می کنیم.

گراف ها اغلب به صورت مدل هایی از شبکه های ارتباطی مورد استفاده قرار می گیرند. فرض کنید یک ایستگاه رادیویی می خواهد امواج با ظرفیت های محدود را به شهرهایی مختلف منتشر کند. مدل این وضعیت را با یک گراف نمایش می دهند به طوری که رأس ها ایستگاه های مخابره کننده هستند و مجاورت دو رأس نشان می دهد که این رأس ها هر کدام در دامنه دیگری قرار دارند. هنگامی که مخابره کننده ها فرکانس مشابه منتشر می کنند تداخل ایجاد می شود. مخابر‎ه کننده ها معمولاً برای فواصل دور فرکانس مشابه به کار می برند.

در جهان رقابتی امروزه، مقایسه امری مهم می باشد. افراد همه چیز را با هم مقایسه می کنند. معیار تشابه مفهومی مهم در این زمینه می باشد و به ما کمک می کند تا اندازه ی تشابه دو چیز را تشخیص دهیم. برای این امر، ما در ابتدا درجه تشابه دو چیز را محاسبه می کنیم. بالاترین درجه تشابه بین دو چیز، یعنی بیشترین تشابهی که آن دو نسبت به هم دارند. در این پایان نامه، اندازه تشابه بین انواع مختلف مجموعه های فازی محاسبه می شود. خلاصه فصل های این پایان نامه به شرح زیر می باشد: فصل 1 این فصل شامل مفاهیم به کار رفته، اساس، تاریخچه و مرور مختصری بر کارهای انجام شده توسط محققین در زمینه ی اندازه تشابه فازی می باشد. در فصل 2 اندازه تشابه بین اعداد فازی تعمیم یافته همراه با ارائه ی مثالهای عددی مطرح شده است. همچنین برخی از خواص اندازه تشابه اعداد فازی به همراه اثبات آنها ارائه شده است. در فصل 3 اندازه تشابه بین فاصله مقادیر مجموعه های فازی مورد بررسی قرار گرفته است. فصل 4 شامل بررسی اندازه تشابه بین مجموعه های فازی شهودی می باشد. که در این رابطه نیز مثال های عددی و اثبات بعصی از خواص ارائه شده است. فصل 5 کاربردهایی از معیارتشابه فازی ارائه شده است

در چند دهه اخیر دانشمندان ریاضی سعی کردهاند از خواص گراف ها برای محاسبه انرژی مولکولها استفاده نمایند و راه حل های ساده تری را برای محاسبه انرژی مولکول بیابند. که این تلاش منجر به کشف راه حل ساده تری توسط گاتمن شد.در این پایان نامه ضمن بررسی این روش،سعی شده است با نگرشی نو، انرژی مولکول بصورت فازی محاسبه شود.برای این منظور در فصل اول مفاهیم و تعاریف لازم بیان شده است که این مفاهیم و تعاریف هم مربوط به علم ریاضی و هم مربوط به علم شیمی است.در فصل دوم ضمن تشریح مفهوم انرژی مولکول،نتایجی که تا کنون در این زمینه برای گراف ها وجود دارد بصورت مختصر بیان می شود.در فصل سوم با تلفیق ریاضیات فازی و مفهوم انرژی مولکول،روش های جدیدی برای محاسبه انرژی مولکول ارائه شده است که براساس خواص پیوندها استوار هستند و در فصل چهارم با توجه به این روش جدید، انرژی فازی مولکولهایی که از نظر ساختاری مشابه یکدیگرند محاسبه و بررسی شده است.

فرض کنید ‎ ‎g=(v,e)‎ ‎ گرافی با ‎ ‎n‎ ‎ رأس و ‎ ‎m‎ ‎ یال باشد. زیرمجموعه ی ‎ ‎s‎ ‎ از رئوس گراف ‎g ‎‎ را یک مجموعه ی احاطه گر برای ‎g ‎‎ می نامیم‏ هر گاه ‎هر رأس از ‎ ‎v-s‎‎ ‎ با رأسی از ‎ ‎s‎ ‎ مجاور باشد. اندازه کوچکترین مجموعه احاطه گر در گراف ‎ ‎g‎ ‎ را عدد احاطه گری نامیده و آن را با ‎ ‎?(g)‎‎ ‎ نشان می دهیم و یک مجموعه احاطه گر با اندازه ?(g)‎ را یک ‎‎?(g) ‎ -مجموعه می نامیم. گراف‏ ‎ ‎g‎ ‎‎‎ ‎را گرافی احاطه - بحرانی یا(?(g- بحرانی می نامیم هر گاه برای هر رأس ‎ ‎v‎ از ‎ ‎v‎ ‎ داشته باشیم‎‎‎‎ ‎ ?‎(g-v) <? ‎(g) گراف ‎ ‎g‎ ‎‎‎گرافی ‎‎‎ (‎?‎,k)‎- بحرانی‎‎‎‎ ‎‎نامیده می‎‎ شود هرگاه برای هر زیرمجموعه‏ ‎ k ‎ رأسی‎ ‎‎از ‎‎ ‎ ‎v(g)‎ ‎‎ ‎ داشته باشیم‎‎‎‎ ? ‎(‎g-‎s) ‎<‎‎‎ ? ‎(g) ‎گراف های ‎‎‎(‎? ‎,‎1‎)‎ - بحران‎ی‎ حالت خاصی از گراف های ‎(? ‎,k)‎ - بحرانی هستند.‎ ‎‎

در این پایان نامه موضوع مقادیر ویژه فازی و کاربردهای آن بررسی شده است. برای یافتن مقادیر ویژه فازی از دو روش مختلف استفاده شده است. در یک روش از مفهوم ?-برش برای محاسبه مقادیر ویژه ی فازی و متناظر با آن، بردارهای ویژه ی فازی از سیستم خطی کاملا فازی استفاده شده و روش دیگر مبتنی بر مقدار تابع عضویت عدد فازی است که با استفاده از دترمینان به دست می آید. در فصل اول تاریخچه ای از موضوع بیان شده است. در فصل دوم مفاهیم مرتبط با مقادیر ویژه شامل طیف گراف، انرژی گراف و برخی کران ها برای انرژی گراف بررسی شده است. فصل های سوم و چهارم در بردارنده ی دو روش مختلف، برای یافتن مقادیر ویژه فازی و بردارهای ویژه فازی با استفاده از اعداد فازی در حالت پارامتری است. فصل پنجم شامل انرژی لاپلاسین گراف و برخی کران های مربوط به این نوع انرژی است. همچنین این انر ژی به حالت فازی تعمیم داده شد. علاوه بر آن برخی کران ها مربوط به مقادیر ویژه و انرژی در گراف های فازی محاسبه گردید. برای فهم بهتر، در هر فصل ابتدا موضوع به صورت قطعی بیان و سپس حالت فازی آن بررسی شده است.

در این پایان نامه موضوع گراف مولکولی فازی مورد تحقیق قرار گرفته است. در فصل اول گراف مولکولی و برخی از تعاریف فازی آورده شده است. فصل دوم اختصاص به معرفی برخی از اندیس های توپولوژیکی مرتبط با گراف مولکولی یافته است. در فصل سوم گراف مولکولی فازی با استفاده از مفهوم اعداد فازی تعریف شده است. فصل جهارم مربوط به محاسبه برخی از اندیس های توپولوژیکی فازی مبتنی به گراف مولکولی فازی می باشد.

در این پایان نامه‏، مساله ی جریان ماکسیمم در شبکه های فازی مورد بررسی قرار گرفته است. در مساله ی جریان ماکسیمم، هدف ارسال بیشترین مقدار جریان از راس مبدا به راس مقصد در یک شبکه با در نظر گرفتن این محدودیت که جریان در هیچ کمانی نمیتواند از ظرفیت آن‎‎‏ کمان فراتر رود‏، می باشد. در فصل اول‏، با بیان تاریخچه ی موضوع‏، مساله ی جریان ماکسیمم در شبکه های قطعی بیان و الگوریتم فورد و فالکرسون تشریح شده است. فصل دوم اختصاص به تعریف شبکه های فازی و عملیات مربوط به اعداد فازی مثلثی و ذوزنقه ای دارد. در فصل سوم الگوریتمی برای حل مسایل جریان ماکسیمم در شبکه های فازی بیان می شود. فصل چهارم مربوط به حل مساله ی جریان ماکسیمم به روش برنامه ریزی خطی فازی است. در انتها برای برخی از شبکه ها حالتی از مساله جریان ماکسیمم را که در آن علاوه بر کمان ها، رئوس شبکه نیز دارای ظرفیت فازی هستند، را بیان می کنیم. برای مساله ی جریان ماکسیمم نیز می توان حالت دیگری را در نظر گرفت که در آن علاوه بر اینکه کمان ها دارای ظرفیت فازی باشند، رئوس گراف نیز دارای ظرفیت فازی باشند و مقدار جریانی که می تواند وارد هر راس شود را محدود کند.

برای گراف ‎g‎‎‏‏، تابع ‎‎‎‎c:v(g)‎→ n‎‎ را یک رنگ آمیزی مجاز گوییم هرگاه برای هر ‎‎ c(u)‎=‎ c(v)داشته یاشیم uv ϵ e(g) ‎‎‎‎‎‎ مجموع رنگی متناظر با رنگ آمیزی ‎ ‎‎‎c‎ ‎‏ را برابر با ‎ ∑u ϵ v(g)c(u)‎ ‎‏ تعریف می کنیم و مجموع رنگی ‎ ‎‎‎g‎ ‎‏، ‎ ‎∑(g)‎ ‎‎‏‏، را کمترین مقدار ممکن‏ برای مجموع رنگی‏، در میان همه ی رنگ آمیزی های مجاز ‎ g ‎‏ قرار می دهیم. همچنین کمترین تعداد رنگی که برای آن‏، می توان یک رنگ آمیزی‏، با مجموع رنگ یکسان با مجموع رنگی گراف ‎ ‎‎‎g‎ ‎‏ پیدا کرد‏ را قدرت رأسی‎ ‎‎‎g ‎‎‎ ‎‎‏‏، s(g)‎ می نامیم. در این پایان نامه‏‏، ‎‎‎در فصل اوّل با مرور بر تحقیقات گذشته‏، با روند ایجاد مسأله ی مجموع رنگی و بسط و گسترش این مفهوم آشنا خواهیم شد و گستره ی آن را در علومی نظیر مهندسی و الکترونیک‏، با بیان کاربردی از مسأله ی «مجموع رنگی» که به مسأله ی «طراحی ‎ vlsi‎ ‎‎‏» معروف است، نشان خواهیم داد.‎همچنین در فصل دوم مروری بر تعاریف اساسی و قضایای کلی مورد استفاده در فصل های آینده خواهیم داشت.‎‎ مفاهیم رنگ آمیزی مینیمال، مجموع رنگی و قدرت رأسی گراف را در فصل سوم بیان‏، و به بررسی کران هایی برای این مفاهیم خواهیم پرداخت.‎و در نهایت در فصل چهارم با استفاده از مفهوم همریختی گراف ها‏‏، به ذکر کران هایی برای مجموع رنگی می پردازیم و فصل را با بیان ‏دو الگوریتم‏، جهت محاسبه ی تقریبی از مقادیر مجموع رنگی و قدرت رأسی‏، به پایان خواهیم رساند.

در این پایان نامه موضوع گراف های فازی و برخی از کاربردهای آن مورد مطالعه قرار گرفته است.در این رابطه مباحث مربوط به گراف های قطعی به گراف های فازی تعمیم داده شده است.فصل اول، مربوط به تاریخچه ی موضوع و بیان تعاریف اساسی گراف های فازی می باشد. در فصل دوم، اعمال روی گراف های فازی شامل: اجتماع، اتصال، حاصل ضرب دکارتی، ترکیب، حاصل ضرب نرمال و حاصل ضرب ترانسفوری آورده شده است. فصل سوم موضوع یکریختی مورد بررسی قرار گرفته است. گراف های فازی منتظم و گراف های فازی کلاً منتظم موضوع فصل چهارم این پایان نامه می باشد. در فصل پنجم موضوع گراف های مسطح فازی مطرح و فرمول اویلر در گراف های فازی تعمیم داده شده است. فصل ششم کاربردهایی از گراف فازی شامل موضوعات، مقادیر ویژه و انرژی در گراف فازی، رنگ آمیزی گراف های فازی و مفهوم احاطه گری در گراف های فازی می باشد.

منظور‎ از مدل سازی گراف ها‏، استفاده از مفاهیم‏، روابط و ساختار گراف ها‏، در مساله ی مدل سازی است. در این پایان نامه‏، مدل سازی فازی گراف ها‏‏، مبتنی بر نوع گراف فازی شامل درخت های فازی‏، گراف های اویلری و همیلتونی فازی‏، ‏گراف های مسطح فازی‏، گراف های دوبخشی فازی‏، شبکه های فازی و مسایلی مانند رنگ آمیزی فازی‏، پوشش راسی فازی‏ و مجموعه های مستقل فازی مورد بحث و بررسی قرار گرفته است. همچنین در مورد هر مدل گراف‏، نمونه هایی بیان می شود و در ادامه روش حل‏ و کاربردهایی از آن مدل گرافی ارائه می گردد‏.

این پایان نامه با هدف انجام یک تحقیق تحلیلی در روش های اثبات در ترکیبیات و گراف انجام شده است. برای این منظور کتاب های متعدد درسی در زمینه ترکیبیات و گراف مورد بررسی و تجزیه و تحلیل قرار گرفت. بعضی از هدف های موردنظر به شرح ذیل می باشد که در قالب پنج فصل این پایان نامه ارائه گردیده است. ‎ در فصل اول، ما یک دیدگاه کلی از مفاهیم و روش های اثبات در ریاضیات، به ویژه در ترکیبیات را عرضه می کنیم. فصل دوم، مربوط به آشنایی با موضوع ها و تکنیک های استدلال ترکیبیاتی می باشد. در فصل بعد، ما شناختی از ویژگی های ساختاری را بیان می کنیم و برخی از مسائل شمارشی در این رابطه را بررسی می کنیم. سپس ما در فصل بعدی، برخی از مسائل وجودی در اثبات های ترکیبیاتی را بررسی می کنیم. سرانجام، برخی از کاربردهای ترکیبیات در علوم رایانه و الگوریتم ها در این متن ارائه شده، معرفی خواهد شد.