این پایان نامه به حل سیستم های غیرخطی از مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم توسط روش هایی از جمله روش تحلیلی با استفاده از فضای هسته های دوباره تولید شد، روش تکراری تغییرات(vim)، روش تفاضلات متناهی چبیشف(chfd)و روش اختلال هموتوپی(hpm) می پردازد. در این پایان نامه این روش ها با یکدیگر مقایسه شده و مشاهده می شود که با توجه به اینکه همه روش ها به جز روش تفاضلات متناهی چبیشف بینیاز از شبکه هستند روش های خوبی هستند اما روش اختلال هموتوپی با توجه به حجم محاسبات و خطای کم روش مناسبی است و نتایج عددی نیز در جداولی آورده شده است.

در این رساله به حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی از نوع تکامل پرداخته ایم. معادلات دیفرانسیل تکامل غیرخطی نقش مهمی در شاخه های مختلف علوم مهندسی نظیر فیزیک پلاسما، فیبرهای نوری، فیزیک جامدات و شیمی دارند. در این رساله از روش اختلال هموتوپی برای حل این نوع از معادلات استفاده کرده ایم. در این راستا در فصل سوم برای روشن شدن نحوه پیاده سازی روش به بیان مثال های متنوعی برای معادلات دیفرانسیل پرداخته ایم. همچنین یک الگوریتم برای حل معادلات تکامل غیر خطی از نوع کسری ارائه شده است. از معایب روش ناسازگاری آن برای حل مسائل مقدار مرزی است، که در این جهت اصلاحی از روش برای حل معادلات غیرخطی تکامل ارائه شده است. همچنین روش اختلال هموتوپی بهبود یافته برای حل معادلات غیرخطی پخش ارائه شده است.

در این پایان نامه پس از مروری مختصر بر روشهای هم مکانی و تفاضلات متناهی دو روش عددی بر اساس روش های تفاضل متناهی و هم مکانی برای حل معادله غیر خطی کلین - گوردون ارائه شده است . ماتریس عملگرد مشتق برای حل توابع مقیاسی بی اسپلای به منظور جداکرد راه حل غیر خطی کلین - گوردون از راه حل جبری ارائه شده است .

در این پایان نامه به معرفی روش آنالیز هموتوپی پرداخته و از آن در حل معادلات جبری کسری استفاده می کنیم.این روش دارای این نقطه قوت است که در آن آزادی فراوانی برای انتخاب فاکتورهای موجود دخیل می باشد. همچنین اطمینان از همگرا بودن و ناحیه همگرایی آن تحت پارامتر کمکی h بر اعتبار این روش می افزاید.

محاسبات کسری اخیرا در بسیاری از مسائل کاربردی شیمی وفیزیک بازتاب بسیار خوبی داشته و روش های حلی که برای این نوع مسائل ارائه می شوند دارای اهمیت زیادی می باشند. در این پایان نامه ما گروهی از معادلات دیفرانسیل کری از نوع خطی و غیر خطی را بررسی خواهیم کرد و به کمک روش تجزیه آدومیان جواب تقریبی تحلیلی برای این نوع معادلات ارائه خواهیم داد. این جواب برای معادلات خطی دقیق و برای معادلات غیر خطی تقریبی از جواب واقعی مسئله را به ما می دهد.

بعد ازظهورابررایانه ها، مشکل پیدا کردن جواب مسائل خطی تقریباً حل شده است. باوجود این، هنوز حل مسائل غیرخطی، بالاخص یافتن جواب تحلیلی این نوع مسائل آسان نیست. هر چند تکنیک های حل تحلیلی مسائل غیرخطی پیشرفت چشم گیری داشته است،اما هنوز نتوانسته است به طور کامل رضایت ریاضی دانان را جلب نماید. تکنیک های اختلالی از جمله روش های پرکاربرد برای بدست آوردن جواب های تحلیلی مسائل غیرخطی است که نتایج بدست آمده از این روش ها، بسیار جالب و ازاهمیت ویژه ای برخوردارند.این پایان نامه که بر اساس مراجع [2و3]تنظیم شده است، شامل چهار فصل است . که در آن به کاربرد روش های اختلال هموتوپی جهت بدست آوردن جواب های تحلیلی معادلات و دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری پرداخته می شود. در فصل اول، با ارائه ی مقدمه ای بر حسابان کسری به بیان تاریخچه ای کوتاه برپیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخته ایم. در ادامه با معرفی فضاهای تابعی موردنیاز، تعاریف انتگرال و مشتقات کسری را ارائه و قضایای اساسی و مورد نیاز برای مباحث آتی را بیان کرده ایم. در نهایت این فصل را با معرفی توابع میتاگ-لفلر و بیان قضایای وجود و یکتایی معادلات دیفرانسیل کسری به پایان خواهیم رساند. فصل دوم را با عنوان روش اختلال هموتوپی و کاربردهای آن نامگذاری کرده ایم. مطالب این فصل را در پنج بخش مجزا بیان کرده ایم. به این ترتیب که با ارائه ی مقدمه ای کوتاه بر روش های اختلال، روش های اختلال هموتوپی و روش اختلال هموتوپی اصلاح شده، به تشریح هر یک از روش ها و بیان مزایا و معایب این روش ها پرداخته ایم .قابل ذکر است که کارایی تمامی روش های های بیان شده را با ارائه ی مثال هایی نشان داده ایم. در فصل سوم با ارائه ی مقدمه ای بر مسائل مقدار اولیه ی کسری از نوع کاپوتو و بیان تاریخچه ای بسیار کوتاه در ارتباط با روش های عددی و تحلیلی ارائه شده، به بیان اصلی مسئله پرداخته، سپس در بخش هایی مجزا به تشریح روش های اختلال هموتوپی و اختلال هموتوپی اصلاح شده روی مسائل مقدار اولیه ی کسری کاپوتو می پردازیم. این فصل رانیز با ارائه ی مثال هایی کاربردی به پایان خواهیم برد. در فصل چهارم نیز دقیقاً مشابه فصل سوم عمل می کنیم. با این تفاوت که به جای حل معادلات دیفرانسیل کسری با مقدار اولیه به حل دستگاه معادلات دیفرانسیل با مقادیر اولیه خواهیم پرداخت. شایان ذکر است که اکثر مسائل فیزیکی درگیر با معادلات دیفرانسیل کسری، به صورت دستگاه معادلات دیفرانسیل کسری است.

جایگاه معادلات دیفرانسیل در ریاضیات به 350 سال قبل باز می گردد. زمانی که آنالیز ریاضی توتناترین شاخه ی ریاضیات و مبحث معادلات دیفرانسیل عمده ترین بخش آن بود. معادلات دیفرانسیل تأخیری و پنتوگراف خود شاخه ای مهم از معادلات دیفرانسیل به حساب می آیند که در بسیاری از علوم کاربردی از جمله فیزیک و شیمی نقش به سزایی دارند. لذا در این رساله بر آن شدیم که در مورد آنها بحث و بررسی های لازم را به عمل آورده تا بتوانیم تقریب هایی مناسب برای جواب های این دسته از معادلات ارایه دهیم.