قضیه ی آخر فرما بیان می دارد که معادله ی x?+y?=z?, برای 3?n دارای جواب صحیح (xyz?0) نمی باشد. فرما (pierre de fermat) در حوالی سال 1637ادعا کرد که اثباتی جالب برای این قضیه ارائه کرده است که در حاشیه ی کتاب نمی گنجد. البته تنها اثبات کامل ریاضی که از او در دسترس است حل این معادله برای حالت 4=n می باشد که وی در آن از ایده ی نزول نامتناهی (infinite descent ) که هم اکنون نیز یکی از ابزارهای قوی در مطالعه ی معادلات دیوفانتوسی می باشد استفاده کرد. به هر حال این مسئله 350 سال حل نشده باقی ماند تا در سال 1994 وایلز (wiles) موفق به اثبات آن گردید. نخستین پیشرفت در 100 سال اول در سال 1753 توسط اویلر ((euler انجام گرفت. او برای معادله ی فوق اثباتی البته با اشکالی کوچک برای حالت 3=n ارائه داد 100 سال بعد از کارهای اویلر حل هائی برای حالت 5=n توسط دریشله و لژاندر (legendre) در سال 1825 و همچنین برای 7=n در سال 1839 توسط لمه (lame ) ارائه شد. سوفی ژرمن در سال 1820 ثابت کرد که در حالتیکه توان? اول باشد و q=2?+1 نیز اول باشد هیچ جواب (? mod xyz?0) برای معادله ی فوق وجود ندارد. که این اولین گزاره کلی در رابطه با قضیه ی فرما تا آن زمان محسوب می شود. کارهای کومر ( kummer) منجر به ایجاد رشته های جدید "نظریه جبری اعداد" و "مقادیر خاصl –نگاشتها" گردید.همچنین او ارتباط معادله ی فرما را با اعداد رده ای (class numbers) در میدان های دایره بری( cyclotomic fields) نشان داد که هم اکنون نیز یکی از موضوعات مورد تحقیق می باشد. در سال 1984 فالتینگز (faltings ) حدس موردل ( mordell ) را اثبات کرد که به عنوان حالت خاص نشان می دهد معادله ی فرما برای n ثابت دارای متناهی جواب است. همچنین فرای(frey) در سال4198 ثابت کرد که بشرط صحت حدس اپسیلون سر (serre’s ?-conjecture) حدس شیمورا- تانی یاما (shimura-taniyama )قضیه ی فرما را نتیجه می دهدوریبت (ribet) در سال 1986 حدس اپسیلون سررا ثابت کرد. وایلز حدس شیمورا- تانی یاما را برای خم های بیضوی نیمه پایدار(stable-semi) ثابت کرد که سرانجام بعد از 350 سال منجر به حل معادله ی فرما گردید.

در این پایان نامه کلاس همنهشتی* از جواب یا جواب کمترین مربع هر یک از معادلات ماتریسی (ax=b, a*xa=d, axb=d, (ax xb)=(e f ارائه شده است. شرایط لازم و کافی برای وجود جواب (جواب کمترین مربع) معادلات فوق به دست آمده و شکل کلی جواب های مختلف آنها با استفاده از تجزیه های مقدار تکین و مقدار تکین تعمیم یافته بیان شده است، سپس مساله ی مقدار ویژه ی معکوس بیان شده است. در پایان یک مساله ی تقریب بهینه از ماتریسهای هرمیتی بیان شده است. با استفاده از معکوس تعمیم یافته ی مور-پنرس و تجزیه ی مقدار تکین، شرایط حل پذیری و نمایش کلی جواب مساله ی مقدار ویژه ی معکوس بیان شده و سپس جواب مساله ی تقریب بهینه نیز به دست آمده است.

هندسه محاسباتی یکی از شاخه های علوم کامپیوتر است که به مطالعه الگوریتم های حل مسائل هندسی می پردازد. رویت پذیری یکی مباحث مهم و پیچیده در هندسه محاسباتی است که کاربردهای فراوانی در برنامه ریزی حرکت، مسیر یابی، سیستم های اطلاعات جغرافیایی و غیره دارد. در این پایان نامه ابتدا قصد داریم تا مسئله ی معروف نگارخانه ی هنری را مطرح کرده و کاربرد رویت پذیری را در جهت کاهش تعداد نگهبانان مورد بررسی قرار دهیم. سپس مسائل یافتن کوتاه ترین مسیر و کوتاه ترین مسیر پیوندی با قید قابلیت دید یک نقطه در حالت ثابت و پرس و جو را مورد بررسی قرار می دهیم. دامنه ای که این مسائل در آنها بررسی شده اند چندضلعی ساده می باشد.

چکیده در این پایان نامه به بررسی شرایط کافی برای قویا ستاره گون بودن توابع p- ارزاز مرتبه ی ?و از نوع ? درuپرداخته و داریم: فرض کنیم a_pکلاس نگاشت های f(z) به شکل f(z)=z^p+?_(n=1)^???a_(p+n) z^(p+n) ? (p?n={1,2,3,…}) که هر کدام روی دیسک واحد بازu={z:|z|<1} تحلیلی هستند، باشد.تابع f(z)?a_p را ستاره گون p- ارز از مرتبه ی ?می گوییم هر گاه برای هر ??[0,1) و هر z?u داشته باشیم: re((zf^ (z))/f(z) )>? زیر کلاس a_p شامل توابع f(z)که ستاره گون p- ارز از مرتبه ی ?در u هستند را با s_p^* (?) نمایش می دهیم.اگر f(z)?a_p و برای هر??[0,1) و هر z?u داشته باشیم: |arg((zf^ (z))/pf(z) -?) |<??/2 آنگاه f(z) را قویا ستاره گون p- ارز از مرتبه ی ?و از نوع ? درuمی نامیم و این کلاس را باs ?_p^* (?,?) نمایش میدهیم. همچنین شرایط کافی برای قویا ستاره گون بودن توابع تک ارز را بررسی می نماییم. واژه های کلیدی: نگاشت تحلیلی، تک ارز، p- ارز، شرط پیرو، قویا ستاره گون، محدب، نزدیک به محدب، بهترین چیره