در این پایان نامه به مطالعه انشعابات موج سیار برای چهار دسته از معادلات موج غیر خطی می پردازیم.با پیاده سازی جواب های موج سیارروی این معادلات آنها را به یک دستگاه دینامیکی تبدیل می کنیم و سپس انشعابات آن را تحلیل می کنیم. در ادامه با استفاده از دستگاه حاصله جوابهای صریح برای این معادلات بدست می آوریم. یکی از این معادلات را به صورت عددی شبیه سازی میکنیم. یکی دیگر از این معادلات معادله کوراموتو- سیواشینسکی است که دارای دینامیک پیچیده ای بوده و یک انشعاب جدید به نام انشعاب دام در آن اتفاق می افتد. تحلیل این انشعاب با استفاده از نظریه گره انجام می گیرد.

موضوع این رساله مطالعه ی ویژگی تحلیلی توابع ملنیکف مرتبه ی اول برای دستگاه های همیلتونی است که شامل یک حلقه ی گوشه دار هستند. بسط تابع ملنیکف در مقدار همیلتونی نظیر به حلقه در کاربردها اهمیت فراوانی دارد، زیرا با استفاده از ضرایب اولیه در بسط می توان شرایطی را به دست آورد که تحت آن شرایط دستگاه مختل شده در یک همسایگی از حلقه دارای 4، 5 و 6 سیکل حدی است. موضوع بعدی بیان یک کاربرد از نتایج اصلی و به کارگیری آن ها به ویژه بسط مجانبی تابع ملنیکف در نزدیکی حلقه بر دستگاه های چندجمله ای لینیارد و یافتن حداکثر 4، 5 یا 6 سیکل حدی در آنها است. سرانجام هم به عنوان کاربردی از نتایج اصلی به بررسی و مطالعه ی تعداد سیکل های حدی در دستگاه های همیلتونی چندجمله ای هم پایا از درجه ی 3 و 4 می پردازیم و نشان می دهیم که این دستگاه ها به ترتیب دارای 4 و 10 سیکل حدی هستند.

این رساله به انشعاب سیکل های حدی به وسیله اختلال در سیستم های همیلتونی می پردازد. در بسیاری از کاربردها تعداد و موقعیت سیکل های حدی ‏برای درک رفتار دینامیکی یک دستگاه حائز اهمیت است. با استفاده از ایده نگاشت پوانکاره و تابع فاصله متناظر که روی یک پاره خط مورب بر یک طوق تناوبی از دستگاه مختل نشده ساخته می شود‏،‏ مسأله انشعابات سیکل های حدی به یافتن تعداد ماکزیمم صفرهای تنهای رده خاصی از انتگرال های آبلی معروف به تابع ملنیکف تبدیل می شود. با استفاده از محک چبیشف ‏، بسط مجانبی تابع ملنیکف نزدیک گرافیک ها و نظریه انشعاب به مطالعه انشعابات هاپف، انشعابات پوانکاره و انشعابات سیکل های حدی از برخی گرافیک ها نظیر حلقه هتروکلینیک می پردازیم و چهار کلاس از دستگاه های لیینارد را بررسی می کنیم.

دستگاه های چندجمله ای مرتبه دوم در صفحه با حداقل یک مرکز همیشه انتگرال پذیر هستند که می توان آنها را به چهار رده: همیلتونی q_3^h، برگشت پذیر q_3^r‎، همبعد چهار q_4‎، لاتکا-ولترای تعمیم یافته q_3^lv، دسته بندی کرد. یک مسئله طبیعی بررسی تعداد سیکل های حدی منشعب شده از طوق تناوبی این چهار رده از دستگاه ها تحت اختلال های کوچک از درجه دو است. در این پایان نامه قصد داریم حالت هایی از دستگاه های رده دوم یعنی برگشت پذیر را تحت اختلال درجه دو مورد بررسی قرار دهیم. حالت اول دستگاه های برگشت پذیر از درجه دو با دو مرکز است که در هر ناحیه ی فشرده از طوق تناوبی می توانند حداکثر چهار سیکل حدی داشته باشند. اگر چهار سیکل حدی وجود داشته باشد آنگاه توزیع آنها ‎(3,1) است، به این معنی که سه سیکل حدی به صورت تو در تو یک مرکز را احاطه می کنند و سیکل حدی دیگر مرکز متفاوت را احاطه می کند. حالت دیگر از دستگاه های برگشت پذیر درجه دو که مورد مطالعه قرار می گیرد یک دستگاه دارای یک مرکز و یک حلقه ی هموکلینیک است. این دستگاه در هر ناحیه ی فشرده از طوق تناوبی می تواند حداکثر سه سیکل حدی داشته باشد.

در این پایان نامه ابتدا مسئل? {?((?^2 u)/(?x^2 )+(?^2 u)/(?y^2 )=0 , 0<x?1, -?<y<?,@u(0,y)=g(y), -?<y<? @u_x (0,y)=0, -?<y<?. )? با شرایط کوشی در نظر گرفته می شود. این مسئله، مسئل? کوشی برای معادل? لاپلاس نامیده می شود که در بررسی مسائلی از قبیل ژئوفیزیک، لرزه نگاری و مسئل? میدان بیوالکتریک ظاهر می گردد. این نوع مسئله، یک مسئل? کلاسیک کاملاً بد وضع است؛ یعنی جواب اگر وجود داشته باشد به طور پیوسته به داد? اولیه (یا داد? کوشی) g بستگی ندارد. به عبارت دیگر اختلالی کوچک در داد? اولیه باعث ایجاد خطایی بزرگ در جواب مسئله برای 0<x?1 می شود. جواب u(x,.) از مسئله در l^2 (r) مد نظر می باشد که با استفاده از آنالیز چند ریزه سازی موجک می یِر در فرکانس های بالا تصفیه می شود و به این ترتیب پایداری جواب مسئله با استفاده از روش هموارسازی موجک ها حفظ می شود. درحقیقت با استفاده از روش هموار سازی موجک می یِر، تخمین های پایدارو دقیقی در فضای سوبولف h^r (r) به دست می آوریم که نرخ همگرایی جواب هموارسازی شده را سریعتر می کنند و همگرایی جواب هموارسازی را در x=1 به دست می دهند. و به این ترتیب مسئله به یک مسئل? تقریبی خوش وضع در فضاهای مقیاس v_j تبدیل می گردد. واژه های کلیدی: مسئل? کوشی، فضای سوبولف، هموارسازی،موجک می یِر، معادل? لاپلاس

در این پایان نامه به بررسی این مساله می پردازیم که چه زمانی مجموع های از انتگرالهای آبلی، یک سیستم چبیشف تعمیم یافته کامل (به اختصارetc ) را تشکیل میدهند. این مساله در چهارچوب بررسی بخش دوم مساله شانزدهم هیلبرت ظاهر میشود، که در مورد حداکثر تعداد و مکان سیکلهای حدی یک میدان برداری مسطح چندجملهایاز درجهd بحث میکند. حل کامل این مساله به نظر میرسد دور از دسترس دانش امروز باشد. به این علت آرنولد نسخه ای ضعیف تر از آن را ارائه داد که مساله بینهایت کوچک ?1 هیلبرت نامیده میشود. فرض کنید ? یک فرم دیفرانسیلی درجه ? حقیقی با ضرائب چندجملهای از درجه حداکثرd باشد. چندجمله ای حقیقیh با درجه ? +d در صفحه را در نظر بگیرید. منحنی ترازh = h یک بادامی ازh نامیده میشود و آن را با?h نشان میدهیم. این بادامی ها خانواده ی پیوسته ای از منحنی های ترازh = h را تشکیل میدهند. در مساله بینهایت کوچک هیلبرت، هدف تعیین کران بالای (v (d از تعداد صفرهای حقیقی انتگرال آبلیi است. این کران فقط به درجهd بستگی دارد، یعنی باید نسبت به انتخاب چندجملهایh ، خانواده ی بادامی های {?h}و فرم دیفرانسیلی? یکنواخت باشد. صفرهای انتگرال آبلی با سیکلهای حدی به صورت زیر در ارتباط هستند. یک تغییر کوچک از میدان برداری هامیلتونیx? = xh + ?y را در نظر بگیرید که در آن xh = ?hy?x + hx?y وy = p?x + q?y. اولین تقریب نسبت به? از تابع تغییر مکان از نگاشت پوانکارهx? توسطi(h) = ??h? با? = pdy + qdx داده میشود. بنابراین تعداد صفرهای (i(h با احتساب تکرار یک کران بالا برای تعداد بادامی هاh فراهم میکند که سیکلهای حدیx? را برای ? ?? تولید میکند. تابع (i(h میتواند به ترکیب خطی زیر تجزیه شود ??i?(h) + ??i?(h) + ••• + ?n??in??(h) که در آن هر?k به ضرایبp وq بستگی دارد که به عنوان پارامتر در نظر گرفته میشوند. هرik یک انتگرال آبلی به شکل? = xiyjdx یا? = xiyjdy است. بنابراین این مساله با پیداکردن یک کران بالا برای تعداد صفرهای ایزوله ی تابعی دلخواه در فضای خطی تولید شده از (i_0,i_1,…,i_n-1)معادل است. این دقیقا همان جایی است که مفهوم سیستمect اهمیت پیدا میکند.

در این پایان نامه مدل انتشار ویروس کامپیوتری با تأخیر دوگانه و ضدویروس های با حالت چندگانه در نظرگرفته شده است. با استفاده از قضیه پایداری و انشعاب،ثابت شده است که یک مقدار بحرانی تأخیر برای پایداری شیوع ویروس وجود دارد. زمانی که تأخیر بیش از مقدار بحرانی باشد، سیستم پایداری خود را از دست می دهد و انشعاب هاپف رخ می دهد. علاوه براین فرمول صریح تعیین پایداری و جهت انشعاب های تناوبی با کاربرد قضیه منیفلد مرکزی بدست می آید. در نهایت برخی شبیه ساری عددی برای بررسی آنالیز نظری انجام شده است. نتیجه گیری می تواند به اصول نظری بهتر برای درک عمل دراز مدت شیوع ویروس کمک کند.

در این پایان نامه با استفاده از نظریه پوانکاره-بندیکسون و انشعاب هاپف، انعطاف پذیری و چسبندگی قیمت سیستم های غیرخطی عدم تعادل اقتصاد کلان کینزی را بررسی می کنیم. وجود چرخه مداوم کسب و کار را اثبات خواهیم کرد و شرایط تعادل پایداری مجانبی سراسری ناشی از آن را نتیجه خواهیم گرفت. در نتیجه درمی یابیم که در یک سیستم منعطف-قیمت نسبت به یک سیستم چسبنده-قیمت انشعاب هاپف در مقدار کمتری از پارامتر کمیت تعدیل رخ می دهد و اثرات انتظار تورم ممکن است به سادگی منجر به بی ثباتی اقتصادی شود. به علاوه نشان خواهیم داد که پایداری مجانبی سراسری سیستم منعطف-قیمت به راحتی به دست نمی آید.