در این پایان نامه قصد داریم مسئله الکساندروف و تعمیم هایی از قضیه ماژور-اولام را بیان کنیم. برای این منظوردر فصل اول به معرفی فضاهای نرمدار، n- نرم و همچنین فضاهای نرمدار نا ارشمیدسی، n- نرم نا ارشمیدسیمی پردازیم. سپس در فصل دوم یک قضیه ماژور- اولام موضعی را بیان می کنیم، همچنین قضیه مازور- اولام را در فضای 2-نرم و n –نرم و n –نرم نا ارشمیدسی مطرح می کنیم. نهایتا در فصل آخر قصد داریم مسئله الکساندروف وارتباط آن با قضیه ماژور- اولام را بررسی کنیم و در نهایت به بررسی مسئله الکساندروف در فضای n –نرم خواهیم پرداخت.

یک *c -مدول هیلبرت روی یک *c-جبر a یک مدول چپ m همراه با یک ضرب داخلی روی a است که در مولفه ی اول خطی ودر مولفه دوم مزدوج خطی است به طوری که m با نرم تعریف شده از ضرب داخلی یک فضای باناخ است.مساله حافظ رتبه یک مساله اساسی در مطالعه مسائل حافظ خطی است. *c-مدول های هیلبرت ابتدا توسط کاپلانسکی در سال 1953 به منظور اثبات درونی بودن اشتقاق های روی *aw-جبرها به کار گرفته شد.او ضرب داخلی فضاهای هیلبرت را با مقادیری در *c-جبرهای یکدار جابجایی کلی کرد. فرض کنید h یک با بعد نامتناهی تفکیک پذیر وa یک *c-جبر جابجایی یکدار باشند a-مدول هیلبرت تانسوریh باa نقش خاصی در قضیه *c-مدول های هیلبرت بازی می کند. اگرe یک a-مدول هیلبرت شمارای کلی شده باشد بنابراین e ایزومورف با یک زیر مدول کامل تانسور hباa.ما یک رده از نگاشت های جمعی روی *c-مدول های هیلبرت را بررسی می کنیم که عملگر های الحاقی با رتبه 1 را به عملگر های دیگری از رتبه 1 تصویر می کند.a

یکی از موضوعات گسترده و عمیق در آنالیز نوین قاب ها هستند که توسط بسیاری مورد بحث و مطالعه قرار گرفتند. قاب ها که در فضای هیلبرت تعمیمی از پایه های متعامد یکه هستند به سرعت توسعه یافتند و کارایی خود را نشان دادند. به عنوان نمونه قاب های موجک و گابور امروزه بیش از پیش مورد توجه قرار گرفته اند. در این پایان نامه قاب ها در فضای باناخ جدایی پذیر را مطالعه می کنیم و p-قاب ها و قاب های عملگری برای فضاهای باناخ را معرفی می کنیم که البته هدف خود را بیشتر بر روی p-قاب ها متمرکز کرده و سعی می کنیم دوگان قاب ها در فضای باناخ را مورد بررسی قرار دهیم. برای یک قاب در فضای هیلبرت، عملگر قاب نقش بسزایی در یافتن دوگان آن دارد، اما عملگر قاب برای p-قاب ها در فضای باناخ وجود ندارد لذا علاقه مند به معرفی دوگان آن ها بدون استفاده از این عملگر هستیم.

در این پایان نامه، ابتدا ‎فضای نرم دار چندگانه را تعریف می کنیم و برخی از خواص نگاشت های کران دار چندگانه روی فضاهای نرم دار چندگانه را بررسی ‏و قضیه پایداری تعمیم یافته ‎هایر‎-اولام‎-‎ راسیاس‎ مربوط به معادله جمعی کشی از فضاهای خطی به فضاهای نرم دار چندگانه را با به کارگیری شیوه نقطه ثابت اثبات می کنیم. همچنین قضیه پایداری هایر‎- اولام‎ را برای نگاشتهای مربعی از یک گروه آبلی به یک فضای نرم دار چندگانه بررسی می کنیم. در نهایت پایداری نگاشت های مربعی روی یک حوزه کران دار در فضای نرم دار چندگانه را مطالعه می کنیم.

در این رساله، جبرهای که توسط خودتوان هایشان تولید می شوند را مطالعه و احکامی در این جبرها بیان و اثبات می کنیم. سپس اشتقاق های موضعی و خودریختی های 2-موضعی ، را روی این جبرها تعریف و بررسی می کنیم. با فرض این که l یک شبکه زیرفضایی جابجایی و m یک algl-مدول باناخ است ثابت می کنیم هر اشتقاق موضعی کراندار از algl به m یک اشتقاق است و اگر a یک زیر جبر از فون- نویمان m باشد هر اشتقاق موضعی از a به m نیز یک اشتقاق است. در انتها شرایطی را ارائه می کنیم که در آن خودریختی های 2- موضعی ببه خودریختی تبدیل می شوند.

بسمه تعالی در این پایان نامه نشان می دهیم که یک موجک قاب ? با کاهش سریع در دامنه زمان و تکیه گاه فشرده در دامنه فرکانس وجود دارد و سیستم موجکی تولید می کند که دوگان کانونی قاب نمی تواند توسط تعداد دلخواهی از مولدها تولید شود، از طرف دیگر تعداد نامتناهی دوگان غیر کانونی از ? توسط یک تابع تولید می شود. در این پایان نامه برای پارامترهای انتقال به قدر کافی کوچک و هر تابع محدود ? که اتساع های تبدیل فوریه آن یک افراز واحد تشکیل می دهند یک قاب موجکی تولید می کند که دوگان آن نیز ساختار موجک دارد. این دوگان قاب توسط یک ترکیب خطی متناهی از اتساع های ? با ضرائب معلوم تولید می شود.

در دهه های اخیر توابع مجموعه مقدار در فضای باناخ مورد توجه بسیاری از محققان قرار گرفت. پایداری معادلات تابعی مجموعه مقدار از عناوین مهم توابع مجموعه مقدار به شمار می آیند. اکنون در این پایان نامه به این سوال پاسخ می دهیم که تحت چه شرایطی تابع مجموعه مقدار زیر جمعی انتخاب جمعی می پذیرد یعنی پایداری برخی توابع مجموعه مقدار را بررسی می کنیم. نمونه هایی از این پایداری ها، پایداری معادلات ‎‎زیرجمعی، مربعی، مکعبی و حتی پایداری تابع مجموعه مقدار روی گروهوارهی ‎(x‎ ,‎*)‎ است و نیز به بررسی برخی نتایج روی مقادیر تک نقطه ای توابع مجموعه مقداری که در شمول های خطی صدق می کنند، می پردازیم

از جمله مباحثی که در اثبات بسیاری از قضایای ریاضی مورد استفاده قرار می گیرد، مبحث نقطه ثابت است.تئوری فضای مدولار توسط ناکانو در سال 1950 مطرح گردید سپس موزیلاک-ارلیخ در 1959 آن را تعمیم و گسترش دادند. ریاضیدانی چون سریچ، بویدووانگ، کیرک و ... قضیه نقطه ثابت را برای نگاشت های شبه انقباضی، انقباض غیرخطی، انقباض مجانبی و... در فضای متریک بیان و اثبات نمودند. جونگ نگاشت های سازگار و نقطه ثابت مشترک برای آنها و برانسیری نقطه ثابت را برای یک نگاشت همانند اصل انقباض باناخ برای نامساوی از نوع انتگرال مطرح و بیان نمودند. ویجایاراجو وجود و یکتایی نقطه ثابت مشترک برای زوج نگاشت های انقباضی از نوع انتگرال؛ رازانی و مرادی قضیه نقطه ثابت مشترک از نوع انتگرال را در فضای مدولار بیان نمودند. در سال 2010 چستیاکف فضای متریک مدولار را معرفی نمود. وجود نقطه ثابت تاکنون برای بسیاری از نگاشت ها بررسی شده است، در این پایان نامه به بررسی نقطه ثابت و نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های انقباضی در فضاهای مدولار، تابع مدولار و متریک مدولار می پردازیم که مشتمل بر چهار فصل است. در فصل اول، تعاریف و قضایای مقدماتی که در فصول دیگر به آن ها نیازمندیم، پرداخته می شود و در سه بخش تنظیم گردیده است. بخش اول، فضای مدولار و تعاریفی چون همگرایی، کرانداری و...، در بخش دوم و سوم، مفاهیم بخش قبل در فضضاهای تابع مدولار و متریک مدولار معرفی می شود. در فصل دوم به بیان و اثبات قضایای نقطه ثابت برای نگاشت های شبه انقباضی، انقباض غیرخطی، انقباض مجانبی و نقطه ثابت مشترک برای نگاشت سازگار انقباضی و انقباض تعمیم یافته ضعیف از نوع انتگرال پرداخته می شود. در فصل سوم قضیه نقطه ثابت برای نگاشت های انقباض مجانبی و انقباض نقطه ای مجانبی در فضاهای تابع مدولار مطرح و اثبات می گردد. در فصل چهارم قضایای نقطه ثابت و نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های انقباض مجانبی و انقباضی از نوع انتگرال در فضاهای متریک مدولار بیان و اثبات می گردد.

در سال ‎1940‎ ،اولام ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ سوالی درباره نگاشت های تقریبی مطرح کرد به این مضمون که ((تحت چه شرایطی یک همریختی تقریبی به یک همریختی نزدیک می شود؟(( در سال ‎1941‎ ،هایرز‎‎جوابی مثبت به سوال اولام درفضاهای باناخ ارائه داد در واقع ثابت کرد اگر ‎ ‎??0 و f:x?y‎ نگاشتی از فضای نرم دار ‎ x ‎ به فضای باناخ ‎ y باشد به طوری که ‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)??? (x,y?x) (1) آن گاه نگاشت جمعی منحصر به فرد t:x?y ‎ وجود دارد به طوری که ‎?f(x)-t(x)??? (x?x) این پدیده، پایدار‎ی‎هایرز-اولام معادله تابعی جمعی‎ ‎ g(x+y)=g(x)+g(y) ‎ نامیده می شود. تعمیمی از قضیه اولام را برای نگاشت های تقریبا جمعی توسط راسیاس‎ در سال ‎1978‎ با جایگزین کردن نامساوی بالا به صورت‎‎ ‎‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)???(?x?^p+?y?^p) (x,y?x) (1) اثبات نمود. این نوع پایداری معادله تابعی جمعی ‎ g(x+y)=g(x)+g(y) ‎ پایداری هایرز-اولام-راسیاس نامیده می شود. پس از آن تعمیم های دیگری از پایداری توسط ریاضیدانان ارائه شد. در سال ‎1949‎، بورگین‎ ابر پایداری‎ همریختی های حلقه را ثابت کرد. جون ‎‎‎‎‎ و کیم‎‎ در سال ‎2002‎ معادله تابعی‎‎ ‎‎‎ f(2x+y)+f(3x-y)=2f(x+y)+3f(x-y)=12f(x) را معرفی و حل کردند و پایداری هایرز - اولام- راسیاس را برای این معادله تابعی اثبات نمودند. یک جواب معادله فوق، معادله مکعبی ‎ f(x)=x^3 ‎ است. به این دلیل معادله تابعی فوق، معادله تابعی مکعبی نامیده می شود و هر جواب از این معادله را یک تابع مکعبی گویند. جون و کیم ثابت کردند تابعی مانند ‎ f ‎ بین دو فضای برداری‎ x ‎ و ‎ y ‎ جوابی از معادله تابعی مکعبی است اگر و فقط اگر تابع منحصر به فرد‎ c:x×x×x?y ‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎ f(x)=c(x,x,x) (x ?x) و ‎ c ‎ با ثابت گرفتن یک متغیر، تقارنی است و با ثابت گرفتن دو متغیر جمعی خواهد بود. ‎‎ گونه ی دیگر پایداری‏، پایداری راسیاس-ایساک است که اگرe_1 ‎یک فضای برداری نرم دار و e_2‎ یک فضای باناخ حقیقی ‎ باناخ حقیقی باشد و f:e_1?e_2یک نگاشت باشد به طوری که ‎ ‎f(tx)‎ در ‎ ‎t‎ برای هر ‎ ‎x‎ ‎ ثابت پیوسته باشد و همچنین اگر ‎ ‎f‎ یک نگاشت جمعی باشد که در شرایط زیر صدق کند ‎‎ ‎‎‎?(ts)??(t)?(s) (t,s ?r^+) ?(t)<t (t>1) در این صورت یک نگاشت خطی یکتای ‎ t:e_1?e_2 وجود دارد به طوری که ‎‎ ‎‎?f(x)-t(x)??(2??(?x?))/(2-?(2)) ‎که به نگاشت f:e_1?e_2 ‎نگاشت ?‎جمعی گفته می شود اگر و فقط اگر??0 ‎و?:r^+?r ‎ وجود داشته باشد به طوری که ‎lim?(t??)??(?(t))/t=0? ‎ و ‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)???(?x?+?y?) (x,y?e_1 ) در سال ‎2006‎ ، بادورا‎‎ ‎‎پایداری هایرز-اولام ، پایداری راسیاس-ایساک ‎‎ و پایداری هایرز-اولام-راسیاس و ابر پایداری بورگین اشتقاق ‎‎حلقه را روی جبر های باناخ ثابت کردند . میورا‎‎ ثابت کرد اگرa ‎‎ یک جبر باناخ بدون رتبه باشد و f:a?a ‎نگاشتی باشد که برای مقادیر ??0 ‎وp?0 که p?0‎در شرایط زیر صدق کند ‎‎‎ ?f(x+y)-f(x)-f(y)???(?x?^p+?y?^p) (x,y?a) ?f(xy)-xf(y)-f(x)y???(?x?^p+?y?^p) (x,y?a) آن گاه ‎ ‎f‎ یک اشتقاق حلقه است.‎‎‎ هم چنین در سال ‎2007‎ ، پارک‎ ‎‎ و مصلحیان‎ مساله پایداری همریختی های سه تایی و اشتقاق های سه تایی را بیان و اثبات کردند. در این رساله وجود یک فوق اشتقاق سه تایی نزدیک به یک فوق اشتقاق سه تایی تقریبی را با در نظر گرفتن پایداری هایرز-اولام-راسیاس برای فوق اشتقاق های سه تایی در جبرهای باناخ سه تایی ثابت می کنیم. هم چنین پایداری و ابر پایداری اشتقاق مکعبی سه تایی روی جبرهای فرشه سه تایی را مطالعه می کنیم. عملگر های جبر سه تایی‎ در قرن ‎19‎ میلادی توسط چند ریاضیدان مورد توجه قرار گرفت. ابتدا کیلی‎ ‎‎در سال ‎1840‎ مفهوم ماتریس های مکعبی و تعمیمی از دترمینان به نام ابردترمینان‎ را مطرح نمود که در ‎1990‎ توسط کاپرانو‎ ‎ ‎‎ ،گلفند‎ ، زلوینسکی‎ ‎ مجددا بررسی و تعمیم داده شد. دستگاه های جبری سه تایی کاربردهایی در فیزیک، آمار، نظریه های فوق تقارنی و ... دارد‎.‎ این رساله در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول به بیان مفاهیم و قضایای مورد نیاز در فصل های بعد خواهیم پرداخت که به طور عمده از کتاب های ‎ ‎ ‎‎‎gerad‎. ‎j‎. ‎murphy‎‎ ,c^*algebra and operator ‎theory,‎ academic ‎press‎‎,‎‎‎ ‎199‎0.‎ و ‎ ‎w. ‎rudin,‎ functional ‎analysis,‎‎‎ mcgraw-hill, ‎‎‎‎197‎3.‎ استفاده شده است. فصل دوم برگرفته شده از مقاله های ‎ ‎k‎ ‎-h.‎ ‎park and y‎. ‎-s.‎ ‎jung‎, ‎perturbations of higher ternary derivations on banach ternary ‎algebra‎‎, ‎common‎. ‎k‎orean math‎. ‎soc‎. ‎23‎(3)‎ (2008)‎, ‎387-399‎. و‎ ‎b‎. ‎hayati‎,m. eshaghi gordji, ‎m‎. ‎bavand savadkouhi and m‎. ‎bidkham‎,‎stability of ternary cubic ‎derivation ‎on ternary ferchet algebras‎}‎‎, ‎australian ‎j‎ournal of ‎b‎asic and ‎a‎pplied ‎s‎ciences‎, ‎5(5) (2011)‎,‎ 1224-1235‎ . است در آن به آشفتگی فوق اشتقاق های سه تایی در جبرهای باناخ سه تایی و پایداری اشتقاق های مکعبی را در جبرهای فرشه سه تایی بررسی و مطالعه می کنیم. سپس در فصل سوم این نتایج را در مورد اشتقاق ها و فوق اشتقاق های مکعبی روی جبر های نرم دار چندگانه تعمیم می دهیم‏، ‎‎بخش سوم این فصل از مقاله ‏‎t. ‎l. ‎shateri ‎and ‎f. ‎fatemi ‎niya, ‎‎ stability of ternary cubic higher derivations in ternary multi-normed ‎algebras‎‎‎, ‎submitted.‎ برگرفته شده است.

معادلات تابعی معادلاتی هستند که مجهول در آن ها به شکل تابع است. مشهورترین معادلات تابعی معادله تابعی کشی یعنی f(x+y)=f(x)+f(y) است که یکی از توابع صادق در این معادله f(x)=x است. هم چنین معادله تابعی مربعی f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y) که یکی از جواب های آن تابع مربعی f(x)=x^2 است. سوال مهمی که در این جا مطرح است این است که، اگر تابعی تقریبا در یک معادله تابعی صدق کند، آیا به یک جواب آن معادله تابعی نزدیک است؟ مثبت بودن پاسخ این سوال به معنی پایدار بودن معادله تابعی است. این سوال را اولین بار اولام در [18] به این صورت مطرح کرد که، تحت چه شرایطی یک همریختی نزدیک به یک همریختی تقریبی وجود دارد؟ در اواخر سال1941 هایرز در [8] جوابی مثبت به سوال اولام برای فضاهای باناخ ارائه داد، به این ترتیب که اگر f:x?y و?>0 یک نگاشت بین فضای نرم دار x و فضای باناخ y باشد به طوری که: ?f(x+y)-f(x)-f(y) ??? (x,y?x) آن گاه یک نگاشت جمعی منحصربفرد t:x?y موجود است به طوری که: ?f(x)-t(x) ??? (x?x) به علاوه اگر f(tx) در "t?r" برای هر ثابت x?x پیوسته باشد، آن گاه t خطی حقیقی است. این پدیده پایداری، پایداری اولام-هایرز معادله کشی جمعی f(x+y)=f(x)+f(y) نامیده می شود. تعمیمی از قضیه هایرز برای تقریب زدن نگاشت های جمعی به وسیله آوکی در [1] ارائه شد و نیز برای نگاشت های تقریبا خطی توسط راسیاس در [14] مطرح شد. هم چنین اگر 0?p<1 موجود باشد به طوری که ?f(x+y)-f(x)-f(y) ???(?x?^p+?y?^p ) (x,y?x) آن گاه یک نگاشت جمعی منحصربفرد t:x?y چنان موجود است به طوری که ?f(x)-t(x) ??(2? )/|2-2^p | ?x?^p (x?x) این پدیده پایداری، پایداری هایرز-اولام-راسیاس معادله کشی جمعی f(x+y)=f(x)+f(y) نامیده می شود. از طرفی اگر a,b جبرهای باناخ باشند و b دارای یکه و f:a?b یک نگاشت پوشا باشد به طوری که ?f(a+b)-f(a)-f(b) ???, ?f(ab)-f(a)f(b) ??? (a,b?a) برای ??0 و ??0 ، آن گاه f یک همریختی حلقه است یعنی f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b). این پدیده ابرپایداری بورگین، [3] نامیده می شود. واتانابه و میورا در [10]، پایداری هایرز-اولام-راسیاس و ابرپایداری بورگین اشتقاق ها را روی جبرهای باناخ ثابت کردند. نتایج دیگری از پایداری اشتقاق ها توسط مصلحیان در [11] و پارک نیز در [13] مطرح و ثابت شد. ابرپایداری فوق اشتقاق ها و فوق اشتقاق های تعمیم یافته نیز توسط مصلحیان در [12] و لعل شاطری در [16] بررسی شده است. هدف اصلی در این رساله بررسی ابرپایداری اشتقاق های چپ تعمیم یافته(به طور مشابه، اشتقاق های تعمیم یافته) روی جبرهای باناخ متناظر با معادله تابعی نوع ینسن f((x+y)/k)=(f(x))/k+(f(y))/k است که k>1 یک عدد صحیح است. هم چنین، احکامی برای بردهای اشتقاق های چپ(به طور مشابه، اشتقاق ها) روی جبرهای باناخ را ثابت خواهیم کرد. سپس ابرپایداری فوق اشتقاق های چپ روی جبرهای نرم دار چندگانه را مطالعه می کنیم. این رساله در سه فصل تنظیم شده است. در فصل اول به بیان تعاریف و مقدمات می پردازیم، که در فصل های بعد مورد نیاز است. فصل دوم مشتمل بر دو بخش است که بخش اول برگرفته از مقاله s. y. kang, and i. s. chang, approximate of generalized left derivations, abst. appl. anal. وبخش دوم برگرفته از مقاله h. x. cao, j. ronglv, and j. m. rassias, superstability for generalized module left derivations and generalized module derivations on a banach module, j. ineq. p. appl. math. v. 10(2009), issue 2, article 85. است. در فصل سوم با تعریف فوق اشتقاق های چپ مدولی تعمیم یافته تقریبی به بیان ابرپایداری آن ها روی فضاهای نرم دار چندگانه می پردازیم. این فصل برگرفته از مقاله t. l. shateri, and z.afshari, superstability of generalized module left higher derivations on a multi-banach module, submitted. است.

فرض کنید h یک فضای هیلبرت بابعد متناهی m باشد.تعداد متناهی قاب چسبان شامل n برداربرای h وجود دارند که می توان آنها را به صورت مداری از یک بردار تحت عملی یکانی از یک گروه آبلی gبدست آورد0برای گروه ناآبلی g تعداد ناشمارا قاب چسبان شامل n بردار برای h وجود دارد.در این پایان نامه یک رده متناهی ازاین قاب هارا ازجدول مشخصه گروه gبدست می آوریم.این پایان نامه شامل 3 فصل است در فصل اول برخی مفاهیم موردنیاز از فضای هیلبرت و عملگر های روی فضای هیلبرت وقاب ها را یادآوری می کنیم و به طور اجمالی به بیان مفاهیم گروه ها و نمایش گروه ها و مشخصه یک نمایش می پردازیم.در فصل دوم قاب چسبان متناهی رامعرفی کرده و شرط معادل بودن آنهارا با بیان ماتریس گرام قاب بررسی می کنیم.و در فصل سوم ابتدا g-قاب چسبان را بیان می کنیم و در ادامه به تعریف g-ماتریس می پردازیم ودرآخر طبقه بندی g-قاب های چسبان مرکزی را مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه،ابتدا نتایج پایداری را در گروه های متریک اثبات می کنیم سپس به بررسی نتایج سایه زدن برای نگاشت های غیر پوشا می پردازیم یعنی پایداری معادلات تابعی کوشی در مواردی که فضای هدف دارای مضرب 2 است باید یک به یک باشد. در نهایت با به کار گیری قضیه نقطه ثابت پایداری معادلات تابعی در فضاهای متریک و فرا متریک را مطالعه می کنیم.

در دهه های اخیر پایداری معادلات تابعی توسط ریاضیدانان زیادی بررسی شده است. در این پایان نامه به بررسی مفهوم پایداری متعامد معادلات تابعی می پردازیم. ابتداپایداری متعامد معادلات تابع جمعی را بررسی می کنیم سپس پایداری متعامد معادلات تابعی درجه دوم کوشی درجه سه ودرجه چهار را مطالعه خواهیم کرد همچنین بااستفاده ازقضیه ی نقطه ثابت پایداری معادلات تابعی را بررسی می کنیم.

دنباله ی در فضای هیلبرت h، قاب نامیده می شود هرگاه b وa مثبت موجود باشند که برای هر ،[8]. قابها سیستم هایی قوی و پایدار هستند که نمایش غیر منحصربفردی از بردارها را فراهم می سازند . این سیستم ها در دو دهه ی اخیر در مواردی از قبیل نظریه ی فیلتر بانک[4] کوانتمی کردن سیگما _ دلتا [3] فرایند تصویر و سیگنال [5] و ارتباط بدون سیم [12] مورد مطالعه قرار گرفته اند. فرض کنیدi یک مجموعه ی اندیس گذار شمارا باشد و یک خانواده از زیر فضاهای بسته در h باشد و فرض کنید یک خانواده از وزن ها باشد یعنی 0< vi برای هر i i . آنگاه یک قاب ترکیب است اگر ثابت های > d ? c >0 موجود باشند به طوری که برای هر ، که یک تصویر متعامد به توی زیرفضای است [7]. در این پایان نامه ضمن معرفی خواص قابهای ترکیب به ساختار دوگان چنین قابهایی می پردازیم همچنین آشفتگی را در مورد این قابها بررسی می کنیم.

فرض کنید e یک مدول هیلبرت بر روی جبر a و (e) جبر عملگرهای الحاق پذیر روی e باشد. نشان می دهیم اگر a جابجایی و یکدار باشد آن گاه هر اشتقاق روی (e) یک اشتقاق درونی است و اگر a جابجایی و دارای یکه تقریبی شمارا باشد آن گاه درونی بودن اشتقاق ها روی مجموعه عملگرهای فشرده درونی بودن اشتقاق ها روی (e) را نتیجه می دهد. هم چنین ثابت می کنیم اگر a یکدار باشد به طوری که هر اشتقاق روی a درونی است، آن گاه هر اشتقاق از نیز درونی است که جمع n کپی از a را نشان می دهد. علاوه بر این در حالتی که a یکدار و جابجایی است و وجود دارند به طوری که ، همریختی های –a مدولی خطی روی (e) را که روی حاصلضرب های صفر عناصر مانند اشتقاق ها عمل می کنند بررسی می کنیم.

در این پایان نامه نگاشت های خطی حافظ ?- شبه طیف و ?- طیف شرطی بین جبرهای باناخ یکدار رامورد مطالعه قرار می دهیم. یکی از نتایج جالبی که به آن می رسیم حافظ طیف بودن نگاشت های حافظ ?- شبه طیف است که در بسیاری از حالات این نگاشت یک یکریختی یکمتر می شود. ابتدا نگاشت های ?-شبه طیف، ?- طیف شرطی، ?- تقریبا ضربی را تعریف می کنیم سپس روابط بین شبه طیف و طیف شرطی یک عضو از جبر باناخ مختلط یکدار را بررسی کرده و قضیه ای مشابه با قضیه زلاسکو را برای ?- شبه طیف ثابت می کنیم. در نهایت ?- آشفتگی یک جبر باناخ یکدار را مطالعه و خواص و روابطی را بین طیف، شبه طیف و طیف شرطی یک عنصر و آشفتگی آن را به دست می آوریم

در این پایان نامه‏، قضیه نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های خود ریختی با نوعی انقباض جدید روی فضای متریک مخروطی اثبات شده است. هم چنین مثال هائی آورده شده که نشان می دهد این اثبات‏، تعمیمی از اثبات برانکیاری و هانگ و ژانگ ‎‎‎‎، درباره نقطه ثابت مشترک است. ابتدا برخی از مفاهیم و تعاریف توپولوژی روی فضای متریک مخروطی تعمیم و ثابت می کنیم که هر فضای متریک مخروطی‏، فضای توپولوژیک شمارای اول است و زیرمجموعه های فشرده دنباله ای‏، فشرده هستند. هم چنین نگاشت های انقباض قطری و نگاشت های انقباض قطری مجانبی را‏، روی فضاهای متریک مخروطی تعریف می کنیم و قضیه نقطه ثابت را با فرض این که مخروط ما قویاً شبکه است برای این گونه انقباض ها به دست می آوریم.

در این پایان نامه به بیان برخی مفاهیم مانند جبر، جبر باناخ و تعاریفی چون طیف ، شعاع طیفی ، جبر تابعی باناخ ، مرز سیلو ، مرز چاکوئت ، یرد و طیف پیرامونی می پردازیم. هدف این پایان نامه بررسی توان هایی از نگاشت های پوشای t ,t^:a ?b است که به ازای هر f ,g ?a در رابطه ?f^s g^t- ?? = ??(tf)?^s ?(t^ g)?^t- ?? صدق می کنند. نتیجه ای مشابه نیز در حالتی که t=t^ بین زیر مجموعه های خاص a , b تعریف می شود به دست می آوریم .

در ابتدا فضاهای شبه متریک ،b- متریک ومتریک جزئی تعریف می شود .سپس وجود ویکتایی نقاط ثابت در این فضاها بررسی می شود وبه عنوان یک کاربرد ،نتایج جدید ی از نقاط ثابت ونقاط ثابت دوتایی درفضاهای شبه متریک ،b- متریک ،b – شبه متریک ومتریک جزئی استنتا ج می شود .علاوه براین باچند مثال کاربرد این نتایج توضیح داده خواهد شد .

در این پایان نامه *c-مدول های هیلبرت با بعد متناهی را بررسی می کنیم. ابتدا *c-مدول های هیلبرت را تعریف کرده و سپس به تعریف فضاهای <l(v)،k(v,w)،<v,v و عملگر الحاق پذیر برای *c-مدول های هیلبرت v,w می پردازیم. در ادامه با ارائه قضایای اساسی مشخصه ای برای *c-مدول های هیلبرت با بعد متناهی به دست می آوریم و سپس *c-مدول های هیلبرت با بعد متناهی را با همگرایی دنباله های مشخص به طور کامل تو صیف کرده و در نهایت *c-مدول های هیلبرت را روی *c-جبرهای عملگرهای فشرده بررسی می کنیم.

تعریف و بررسی خواص فضاهای g-متریک و وجود و یکتایی نقطه ثابت مشترک در فضاهای g-متریک و هم چنین در فضاهای متریک مرتب و وجود و یکتایی نقاط ثابت چهارتایی انقباض های غیر خطی در فضاهای متریک مرتب.

در این پایان نامه فضاهای متریک احتمالی را معرفی کرده و به برخی ویژگی های این فضا اشاره نمودهایم. همچنین فضاهای نرم دار احتمالی را تعریف کرده و نتایجی را در آن بررسی کرده ایم. به علاوه تعدادی قضیه ی نقطه ی ثابت در فضاهای متریک احتمالی ثابت شده است. در پایان فضاهای متریک احتمالی تعمیم یافته یا همان g-متریک احتمالی و فضاهای g-متریک احتمالی منجر را مطرح نموده ایم و ساختمان اصلی این فضاها را بررسی نموده و ویژگی هایی برای این فضا اثبات کرده ایم. در آخر تعدادی قضیه ی نقطه ی ثابت در این فضاها اثبات شده است.