در این رساله ابتدا برای آشنایی با حسابان کسری، مشتقات کسری ریمان-لیویل، کاپوتو و گرانوالد-لتنیکوف معرفی می شوند. سپس حل مسائل مقدار اولیه از مرتبه کسری با استفاده از روش های نیمه تحلیلی معروف مورد بررسی قرار می گیرد. مسائل مقدار مرزی از مرتبه کسری نیز با استفاده از روش های عددی مانند روش ماتریس های عملگر انتگرالی موجک، روش کنترل بهینه با استفاده از توابع بی اسپلاین و چبیشف و روش تفاضلات متناهی چبیشف مورد بررسی قرار می گیرند. در ادامه با توجه به اهمیت معادلات دیفرانسیل جزیی کسری به بررسی یک نوع از این معادلات به نام معادله انتشار کسری پرداخته و یک روش نیمه گسسته با رویکرد تفاضل متناهی و روش هم محلی چبیشف برای حل آنها به کار می رود و صورت ماتریسی روش نیز برای راحتی کاربرد آن به دست می آید. روش تفاضلات متناهی چبیشف نیز برای حل معادله انتشار کسری مکانی به کار برده می شود. علاوه بر این با توجه به جایگاه روش تفاضلات متناهی در حل عددی معادلات دیفرانسیل، روش تفاضلات متناهی صریح، ضمنی و کرانک-نیکلسون برای حل معادله انتشار کسری زمانی مورد استفاده قرار می گیرد. لازم به ذکر است که در تمام این روش ها با ارائه مثال های گوناگون نشان داده می شود که روش های پیشنهادی بسیار کارا و با دقت می باشند.