در این رساله به بررسی یکی از مقالات luc teirlinck بنام " 1 - تجزیه متعامد، طرحهای مرتب و ساختارهای وابسته " و مسائل جنبی آن پرداخته می شود.

مفهوم رنگ آمیزی در گرافها از اهمیت خاصی برخوردار است . گرافهای بحرانی نیز نخستین بار توسط دیراک مطرح شده و پس از آن توسط دیگران مورد توجه قرار گرفته اند. از آن زمان تاکنون ویژگی های ساختاری جالبی برای این نوع گرافها به دست آمده است . هدف این رساله بررسی بعضی از ویژگی های ساختاری این نوع گرافها و بحث در کرانهای مختلف برای عدد رنگی راسی در گرافها است . در فصل اول حداقل تعداد راسها در گرافهای ؟ رنگی، بدون زیرگرافه k? بحث می شود که تعیین آنها منجر به بررسی گرافهای ؟ بحرانی می گردد. همچنین گرافهایی که در آنها حالت تساوی برای این کران برقرار است ارائه می شوند و نیز کران بالاتری برای حداقل تعداد راسها به دست می آید. برای گرافهای ؟ منتظم و ؟ رنگی نیز حداقل تعداد راس و حالت تساوی کران بررسی می شود. در ادامه برای 4???6 وجود تعداد نامتناهی گراف ؟ بحرانی ثابت شده است و مینیمم مازاد این گونه گرافها تعیین می شود. در فصل دوم به بحث پیرامون وجود گرافهای -k بحرانی با n راس پرداخته و کرانهای به دست آمده برای حداقل تعداد یال این نوع گرافها بیان می شود. همچنین تعدادی از گرافها که حالت تساوی بعضی از این گرافها برایشان اتفاق می افتد، معرفی می شوند و بالاخره مقدار دقیق مینیمم تعداد یال در گرافهای -k بحرانی با n راس که k+2?n?2k و n3k-2 تعیین می شود. نهایتا در فصل سوم به ذکر بعضی از کرانهای بالا و پایین برای عدد رنگی راسی گرافها می پردازیم.

در این پروژه ابتدا خلاصه ای از تاریخچه ای و نحوه پیدایش این چند جمله ای ، به علاوه مفاهیم و تعاریف مقدماتی مربوط به آن را آورده ایم. در فصل دوم با معرفی تعمیم های مختلف این چند جمله ای ، مثلا چند جمله ای رتبه ای ، چند جمله ای تات ، چند جمله ای چند رنگی و چند جمله ای چند رنگی قوی پرداخته ایم . همچنین در ادامه ، ارتباط میان این تعمیم ها با یکدیگر و با چند جمله ای رنگی را بدست آورده ایم. سپس با بعضی از نمایش های مختلف چند جمله ای رنگی که گاهی از اوقات استفاده از آنها در حل یک مسئله می تواند بسیار مفید باشد، اشنا می شویم. همچنین در فصل سوم سعی کرده ایم که به معرفی و مقایسه عمده ترین الگوریتم هایی که تا بحال برای محاسبه این چند جمله ای ارائه شده است ، بپردازیم. در فصل چهارم نیز به تشریح روش ماتریسی محاسبه چند جمله ای های رنگی برای چند خانواده خاص از گرافها پرداخته ایم.