ابتدا با استناد به آنالیز تابعی و با استفاده از تابع فیتز پاتریک یکنوایی ماکسیمال دو عملگر یکنوای ماکسیمال را در فضاهای باناخ انعکاسی و غیر انعکاسی همانطور که دانشمندانی مانند راکفلر، سیمونز، اتوچ، بوروین و ... نشان دادند، بررسی کرده و مشاهده می کنیم که شرط انعکاسی بودن کمک بزرگی به اثبات ماکسیمالی می کند و نشان می دهیم ماکسیمالی مجموع تحت یکی از این فرضیات برقرار است که x انعکاسی باشد یا a وb زیر دیفرانسیل باشند. سپس با اعمال تغییراتی بر عملگرها، و تبدیل یک عملگر به رابطه و عملگر یکنوای ماکسیمال دیگر به عملگر زیر دیفرانسیل، ماکسیمالی مجموع را برای مجموع یک رابطه یکنوای ماکسیمال با یک عملگر زیردیفرانسیل نشان خواهیم داد. در نهایت پاسخ مثبتی برای سوال سیمونز در رابطه با ماکسیمالی مجموع یک عملگر یکنوای ماکسیمال و یک مخروط نرمال پیدا می کنیم و با کمک از تابع فیتز پاتریک و مزدوج فنچل، ماکسیمالی مجموع یک عملگر یکنوای ماکسیمال خطی با یک مخروط نرمال را به اثبات می رسانیم.