بعد متریک گراف ها فرض کنید ‎$g$‎ یک گراف همبند و ‎$w={w_1,w_2,ldots,w_ k}$‎ زیرمجموعه ای مرتب از ‎$v(g)$‎ باشد. برای هر رأس دلخواه ‎$v$‎ از ‎$g$‎ ‎{fgi{g:mrep}}‎ رأس ‎$v$‎ نسبت به ‎$w$‎ عبارت است از بردار ‎$k$-‎تایی ‎vspace*{4mm}‎ ‎$$r(v|w):=(d(v,w_1),d(v,w_2),ldots,d(v,w_k)).$$‎ اگر کدهای متریک رأس های متمایز ‎$g$‎ نسبت به ‎$w$‎ از هم متمایز باشند، ‎$w$‎ یک مجموعه کاشف برای ‎$g$‎ نامیده می شود. هر مجموعه کاشف با کم ترین اندازه برای ‎$g$‎ یک ‎{f gi{g:mbas}‎ } از ‎$g$‎ و اندازه آن بعد متریک ‎$g$‎ نامیده می شود. این مفهوم در سال ‎$1975$‎ توسط اسلاتر معرفی شده و پس از آن در مقاله های بسیاری مورد مطالعه قرار گرفته است. مجموعه های کاشف در زمینه هدایت روبات ها، بازی حافظه برتر، وزن کردن سکه ها، جستجو و رسیدگی در شبکه و داروسازی دارای کاربردهای قابل توجهی است. ‎par‎ در این رساله به مطالعه بعد متریک گراف ها و مسائل باز پیرامون آن پرداخته شده است. بعد متریک حاصل ضرب دکارتی گراف ها در سال ‎$2007$‎ مورد مطالعه قرار گرفته است. در این رساله بعد متریک ‎{f gi{g:lexpro}‎ } گراف ها بررسی و تشریح شده است. گراف های ‎{f gi{g:randy}}‎ گراف هایی هستند که هر زیرمجموعه ‎$k$-‎تایی از رأس های آن ها یک پایه متریک است. در این رساله خواص این خانواده از گراف ها مطالعه و گراف های با این خاصیت رده بندی شده اند. در واقع گراف های تصادفی ‎$k$-‎بعدی بیش ترین تعداد پایه متریک را دارند‎;‎ در نقطه مقابل، گراف های با پایه یکتا هستند که خواص آن ها در این رساله مورد مطالعه قرار گرفته است. در راستای رده بندی گراف های با بعد متریک مشخص، در این رساله گراف های ‎$n$‎ رأسی با بعد متریک ‎$n-3$‎ رده بندی شده اند.