مجموعه s از رئوس گراف g را یک مجموعه احاطه گر نامند هرگاه هر رأس v ? v(g) – s با حداقل یک رأس از s مجاور باشد. در گراف جهت دار d مجموعه s از رئوس را یک مجموعه احاطه گر نامند هرگاه هر رأس v ? v(g) – s در همسایگی خروجی حداقل یکی از رئوس s قرار داشته باشد. مینیمم تعداد اعضای یک مجموعه احاطه گر را عدد احاطه ای نامیده و با ?(g) نشان میدهند. مقدار عدد احاطه ای یک گراف و گراف جهت دار می تواند با اضافه کردن یال هایی به g کاهش و با کم کردن یال هایی از g افزایش یابد. کمترین تعداد یال هایی (کمان ها) که باید به یک گراف (گراف جهت دار) اضافه شود تا عدد احاطه ای آن کاهش یابد، عدد تقویت کننده، r(g)، نامیده می شود. بطور مشابه عدد k-تقویت کننده برای یک گراف کمترین تعداد یال هایی تعریف شده است که اضافه کردن آنها به گراف عدد احاطه ای آن را حداکثر k واحد کاهش میدهد. در این پایان نامه به کمک پارامترهای دیگر در گراف ها و گراف های جهت دار کرانهای بالا و پایینی را برای عدد تقویت کننده بدست می آوریم. و همچنین مقدار دقیق آنرا برای کلاس های خاصی از گراف ها تعیین می کنیم. و در نهایت مفهوم عدد تقویت کننده کسری را معرفی و مورد مطالعه قرار می دهیم.