چکیده عدد طبیعی n را یک ”عدد همنهشت” می نامند اگر مثلثی قائم الزاویه با اضلاع گویا و مساحت n وجود داشته باشد. مطالعه اعداد همنهشت در حالت های خاص مورد توجه یونانیان بود واولین باربه طور سیستماتیک توسط ریاضیدانان مسلمان در قرن 10 مورد بحث قرار گرفت. فرما نشان دادکه n=1 عدد همنهشت نیست.تنها اثبات کامل ریاضی مکتوب فرما این حالت مساله فوق بود که با حالت ?n= مساله فرما مرتبط است و روشاثبات وی نزول نا متناهی نام دارد که از مهمترین تکنیکهای اثبات در نظریه اعداد است.مسئله تعیین اعداد همنهشت به سرعت از لحاظ محاسباتی پیچیده می شود. مثلا از جهت پیچیدگی محاسباتی کوچکترین کسر از جهت تعداد ارقام که وتر یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع گویا ومساحت 157 است ، صورتش ???????????????????????????????????????????????? و مخرجش ????????????????????????????????????????????? می باشد. پیشرفت بزرگ در قرن بیستم توسط تانل 1 انجام شدکه مساله تعیین اعداد همنهشت را به کمک نتایج شیمورا 2 و والدسپورژه 3 به حدسی مهم در نظریه خم های بیضوی مربوط کرد. این حدس که به حدس برچ-سوینرتوندایر 4 مشهور است نظریه حسابی خم های بیضوی را به نظریه تحلیلی خم های بیضوی مرتبط می کند وهمچنان حل نشده باقی مانده است. این حدس یکی از هفت مساله مشهور انجمن علوم ریاضی کلی 5 است که یک میلیون دلار جایزه دارد. جالب توجه است که ?,???,???,??? عدد همنهشت جدید که توسط قضایای قبل قابل پیدا کردن نبودند در سال ???? توسط گروهی از محققان در کشور های مختلف به کمک سوپر کامپیوترهایشان در یک پروژه مشترک محاسبه شدند. [6] در این پایان نامه مفاهیم اصلی بکاررفته در اثبات تانل را شرح داده و چند مثال اساسی ارایه خواهیم کرد که ریاضیات قوی پشت الگوریتم وی رانشان می دهد. . مراجع اصلی این پایان نامه [ 8] و [ 14 ] می باشند.