در این رساله ابتدا روش های طیفی و آنالیز فوریه معرفی و خواص همگرایی آنها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس به معرفی چندجمله ای های انتقال یافته لژاندر و چبیشف و ویژگی های آنها پرداخته می شود. با استفاده از ویژگی های این چندجمله ای ها، ماتریس های عملگر مشتق معمولی و مشتق کسری کاپوتو برای این چندجمله ای ها محاسبه می شوند. همچنین کاربرد این چندجمله ای ها همراه با ماتریس های عملگر آنها برای حل معادلات لایه مرزی در حوزه ی مکانیک سیالات و معادلات دیفرانسیل کسری مورد بررسی قرار خواهد گرفت. در ادامه موجک های لژاندر و چبیشف معرفی و ماتریس های عملگر مشتق این موجک ها تعیین می شوند. با تعمیم این ماتریس های عملگر مشتق به مشتق کسری کاپوتو، ماتریس های عملگر مشتق کسری برای این موجک ها نیز بدست آورده می شوند و یک روند کلی برای محاسبه این ماتریس ها معرفی می شود. سپس همگرایی پایه های موجک و بویژه موجک لژاندر و چبیشف مورد بررسی قرار خواهد گرفت. با استفاده از پایه های چندجمله ای انتقال یافته و موجک های لژاندر و چبیشف همراه با ماتریس های عملگر آنها، حل معادلات تابعی گوناگون مانند معادلات دیفرانسیل سخت، معادلات ریکاتی، معادلات مقدار مرزی تکین و معادلات دیفرانسیل کسری چندمرتبه ای مورد بررسی قرار می گیرد.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی توابع با تغییر کراندار تعمیم یافته در حالت یک متغییره و دو متغییره میپردازیم.سپس به روابط بین این دسته ها اشاره می کنیم و نشان میدهیم تحت چه شرایطی می توان برخی از این توابع را در برخی دیگر نشاند