در این پایان نامه ابتدا آنالیز موجک را مورد بررسی قرار داده و خواص موجکهای گوناگون، ضعفها و توانمندیهای آنها را مطالعه کرده ایم. در ضمنِ مطالعه موجکها، به مفاهیم مهمی چون تبدیل موجک پیوسته، تبدیل موجک گسسته و نیز آنالیز چند ریزه ساز که ابزاری قوی در جهت طراحی و تحلیل موجکهاست پرداخته ایم. سپس به ارائه نتایجی از نیم گروهها متمرکز گشته و معادلات دیفرانسیل جزئی (پاره ای) را از زاویه دید نیم گروهها بررسی کرده ‍ ایم. در فصلی نسبتاً مفصل به ارائه روشهای کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل جزئی پرداخته شده که از آنجمله می‍توان به روش کرانک-نیکلسون اشاره کرد که از روشهای معمول حل معادلات دیفرانسیل جزیی در بین مهندسین است. در پایان با ارئه روش عددی جدیدی برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی با استفاده از موجکها، توانمندی آنها را در کابردهای عددی نشان می دهیم. در این روش ابتدا pde را با استفاده از نظریه نیم گروهها به یک معادله انتگرال تبدیل کرده و آنگاه معادله انتگرال حاصل را گسسته کرده و سپس با تصویر کردن عملگرهای دیفرانسیلی پدید آمده بر روی فضای موجکی به ارائه روشی تطبیقی برای حل معادله می پردازیم. در پایان با ارائه چند مثال عددی کارایی روش بررسی می شود.

چکیده اعداد صحیح b و d داده شده اند به طوری که |b|>1 و d > 1 . هدف ما ساختن توابع تظریف پذیر هموار و تفکیک ناپذیر با محمل فشرده و ضریب اتساع b است که یک آنالیز چندریزه ساز روی) (r^d l^2 تولید می کند. این توابع تظریف پذیر، تفکیک ناپذیرند. به عبارت دیگر نمی توان آنها را به صورت حاصلضرب دو تابع از بعدهای پایین تر بیان کرد. با استفاده از این توابع مقیاس و یک تعمیم از قضیه ای از لای و استوکلر، قابک های چسبان هموار با محمل فشرده را برای سیستم هایی با ضریب اتساع ?bi?_(d×d) می سازیم. هر دوی توابع تظریف پذیر و قابک هایی که آنها تولید می کنند، می توانند به همان همواری که مد نظر ماست ساخته شوند. تقریب هایی برای این توابع تظریف پذیر و قابک ها ارائه شده است. کلمات کلیدی: تابع تظریف پذیر، تابع تفکیک ناپذیر، آنالیز چندریزه ساز، فاکتور اتساع، قابک چسبان، محمل فشرده.

با توجه به عنوان مقاله بحث اصلی ما حول محور همگرایی الگوریتم آبشاری در فضای سوبولف و کاربردهای حاصل از این همگرایی می باشد. بنابراین مطالب به صورت زیر طبقه بندی می شوند:اولین مطلبی که به آن پرداخته می شود این است که : الگوریتم آبشاری با نقاب ‏‎a‎‏ و اتساع ‏‎m‎‏، از یک تابع آغازین تهی و با استفاده از فرآیند تکراری تولید می کند که در آن ‏‎m‎‏ یک ماتریس اتساع است . در ادامه قضایایی را مورد بررسی قرار می دهیم که در آن قضایا شرطهای لازم از همگرایی قوی الگوریتم آبشاری در فضای سوبولف برای شرایط گشتاوری تابع آغازین تهی و برقراری قوانین جمع نقاب متناظر با الگوریتم آبشاری بدست می آید. بعد از بیان این قضایا توصیفی کامل از همگرایی قوی الگوریتم آبشاری در فضای سوبولف بر حسب نقاب متناظرش خواهیم داشت . البته دراین حالت ماتریس اتساع ‏‎m‎‏خاصیت ایزوتروپیک دارد. همچنین قضایایی که دراین قسمت بیان و اثبات می شوند از یک جهت وابسته به یک نتیجه از همگرایی آبشاری در فضای خواهند بود. درادامه با استفاده از نتایجی که از همگرایی الگوریتم آبشاری بدست می آوریم آنها را در استنتاج شرایط ساده برای محاسبه انتگرال حاصلضرب مشتقات توابع قابل تظریف و موجکها بکار خواهیم برد.