در فصل اول ابتدابه بیان تعاریفی مانند فضاهای هیلبرت وباناخ وال پی وسوبولف وتعریف همگرایی قوی وضعیف وتعریف نیم پیوسته پایینی واجباری وتعریف شرط پالایز-اسمال وجواب ضعیف و مشتق جهتی وضعیف ونشاندن سوبولف ونامساویهای یانگ ومینکوفسکی و هولدروتابع کاراتئودوری وقضیه مسیرکوهی بیان شده برای هرمسأله ابتدا نشان میدهیم که مفدار ثابت لانای پایین موجوداست به طوری که بازای هر لاندای کمتراز آن مسأله دارای جواب نمی باشد سپس بااستفاده از قضیه نقطه بحرانی وتعریف تابعک نشان می دهیم که اگر یو نقطه بحرانی تابعک باشد یو بزرگتر از صفراست سپس نشان می دهیم تابعک فوق نیم پیوسته پایینی است ودر شرط پالایز اسمال صدق می کند ونشان می دهیم که شرایط قضیه مسیرکوهی برقرار است در نتیجه نقطه بحرانی دیگری برای تابعک موجوداست که آن نیز بعنوان جواب دیگر دستگاه خواهد بودودر فصلهای بعدی دقیقا همین روال را ادامه میدهیم ونشان می دهیم که دستگاه بیضوی منفرد در دامنه کراندار دارای دو جواب مثبت می باشد