مفهوم ? - حلقه ها توسط نوباسوا معرفی شد و بلافاصله بعد از وی در سال 1966، بارنس این مفهوم را توسعه داد و نتایجی به دست آورد. مفهوم ? - نیم حلقه ها نیز توسط روآ به عنوان توسیعی از ? - حلقه ها معرفی شد. قالب اصلی این رساله بیان مفاهیم و اثبات قضیه های گوناگون در ? - نیم ابر حلقه ها است. مفهوم نیم گروه سه تایی توسط باناخ معرفی شد. وی با استفاده از مثالی نشان داد که یک نیم گروه سه تایی قابل تبدیل به یک نیم گروه معمولی نیست. در این رساله مفاهیم ? -نیم ابرحلقه و ? - نیم ابرحلقه سه تایی معرفی می شوندکه تعمیمی از نیم حلقه، نیم ابرحلقه و ابرحلقه هستند. مفهوم? - نیم ابرحلقه ها، توسیعی از نیم حلقه ها، نیم ابرحلقه ها و ? - نیم حلقه ها است. سپس مفهوم ایده آل ناهموار (ایده آل اول ناهموار) مورد بررسی قرار گرفته است. همچنین رابطه ی بین تقریب بالایی و تقریب پایینی مطالعه شده است. در ادامه، مفهوم حاصل ضرب مختلط معرفی و نتایج مرتبط بدست می آیند. به علاوه، وجود عملگری همورد بین همدسته?? نیم-ابرحلقه ها و همدسته نیم حلقه ها بررسی می شود. در نهایت، مفاهیم ? - نیم ابر حلقه های منظم و ساده معرفی و وجود عملگری همورد بین همدسته ? -نیم ابر حلقه های جابجایی ضعیف و نیم حلقه ها بررسی می شوند. واژه های کلیدی: ? - نیم ابرحلقه، نیم ابرحلقه سه تایی، تقریب بالایی و پایینی، حاصلضرب مختلط، نیم حلقه اساسی.

جابجایی جمع در حلقه ها ارتباط تنگاتنگی با وجود عضو خنثی ضربی دارد. البته می دانیم حلقه هایی وجود دارند که یکدار نیستند. در برخی موارد نیاز به حلقه های اساسی جابجایی است. در این پایان نامه به بررسی نوع خاصی از ابرحلقه که ابرحلقه ی کراسنر نامیده می شود، می پردازیم و رابطه ی * α معرفی می شود. این رابطه توسط دواز و وجیوکلیس معرفی شد و ما آن را در ابرحلقه های کراسنر استفاده می کنیم و آن را کوچک ترین رابطه ی هم ارزی در نظر می گیریم که [r:* α ].

چکیده ندارد.