گسترش تاثیر در شبکه ها به شکل گرافی مدل سازی می شود که نشان دهنده ی اعضا و ارتباط بین آن ها می باشد و هر عضو برای تاثیر نپذیرفتن دارای آستانه ای است. اگر تعداد اعضای مرتبط با عضوی که قبلا تحت تاثیر پدیده بوده اند، حداقل به اندازه ی آستانه اش باشد، آنگاه این عضو نیز تاثیر می پذیرد. گسترش تاثیر بسته به این که تنها در یک مرحله انجام گیرد یا اینکه رئوسی که در مرحله ای فعال شده اند خود در مراحل بعد در فعال شدن رئوس دیگر تاثیر داشته باشند، مونوپولی ایستا یا پویا نامیده می شود. در این رساله کران های پایینی برحسب اندازه ی کمر زوج و فرد گراف برای مونوپولی های ایستا ارائه شده است. برای گراف های جهتدار با آستانه های ثابت $ 2 $ و آستانه ی اکثریت مطلق نشان داده شده است که مساله ی تعیین اندازه ی کوچکترین مونوپولی پویا مساله ای np -سخت می باشد. همچنین کران بالای نصف تعداد رئوس را برای اندازه ی کوچکترین مونوپولی پویای اکثریت مطلق در گراف های جهتدار بدون یال چندگانه، که بهترین کران یافته شده در این زمینه می باشد، به دست آورده ایم. پس از آن به معرفی مونوپولی های پویا با آستانه گذاری های احتمالاتی پرداخته ایم و برای اندازه ی کوچکترین مونوپولی آن ها خاصیت تجمعی حول امید ریاضی اش را نشان داده ایم و از آن کران بالایی که بهترین کران ممکن است، به دست آورده ایم. در ادامه کران های پایینی برای اندازه ی مونوپولی های پویای گراف ها با آستانه های احتمالاتی ثابت شده است. در پایان اندازه ی کوچکترین مونوپولی ایستا و همچنین پویا با آستانه ی متوسط داده شده را برحسب اندازه ی کوچک ترین پوشش راسی جزئی فرمول بندی کرده ایم و np -سخت بودن تعیین اندازه ی کوچک ترین پوشش راسی جزئی را روی گراف های دوبخشی، مسطح و وتری نشان داده ایم و از آن np -سخت بودن تعیین اندازه ی کوچک ترین مونوپولی ایستا و پویا با آستانه ی متوسط داده شده را روی این دسته از گراف ها به دست آورده ایم.