در این پایان نامه، به مطالعه ‎‎‎ گروههای تعمیم یافته پوچتوان و روابط بین آنها پرد‎ا‎خته می شود و نتایجی که درباره ساختار عناصر انگل راست و عناصر انگل چپ وجود دارد، مورد بررسی قرار می گیرد و ثابت می شود که در یک گروه ‎g‎ اگر ‎$a$‎ عنصری از مرتبه متناهی باشد و ‎ b,b^{-1}‎، عناصر ‎4‎- انگل راست باشند و یا ‎a^{-1},a‎ عناصر ‎4‎- انگل چپ و ‎b‎ یک عنصر دلخواه باشد، آنگاه ‎<a‎, ‎a^{b}>‎، پوچتوان از رده حداکثر ‎4‎ است. همچنین ثابت می شود، که در یک گروه ‎g‎ برای هر عدد اول ‎p‎ و هر عنصر ‎a‎ که مرتبه آن توانی از ‎p‎ است و ‎a,a^{-1}‎ عناصر ‎4‎- انگل چپ می باشند. اگر ‎p=2 آنگاه ‎a^{4}‎ به رادیکال بئر ‎g‎ تعلق دارد و اگر ‎p‎ یک عدد اول فرد باشد آنگاه ‎a^{p}‎، در رادیکال بئر ‎g‎ قرار دارد‎.