یکی از موضوعات مورد توجه در جبر و آنالیز، مفهوم مشتق و تعمیم هایی از آن روی حلقه ها و جبر های باناخ می باشد. که با توجه به آن می توان نتایجی در مورد این ساختارها بدست آورد. یکی از تعمیم های مشتق، مفهوم مشتق جردن است. هر مشتق یک مشتق جردن است اما عکس آن لزوماً برقرار نیست. این موضوع که تحت چه شرایطی هر مشتق جردن، مشتق است از مسائل مورد توجه می باشد. هراشتاین نشان داده است که روی هر حلقه اول با مشخصه ی مخالف 2 ، هر مشتق جردن مشتق است . سپس این نتیجه روی حلقه های نیم اول نیز اثبات شده است. یکی دیگر از تعمیم های مشتق نگاشت مشتق پذیر در یک نقطه و نقاط کاملاً مشتق پذیر می باشد.که در اینجا با توجه به آنها به مطالعه ساختار مشتق و مشتق جردن روی جبر های باناخ و جبر های باناخ مثلثی می پردازیم و نتایجی در مورد اینکه روی این جبرها، چه موقع مشتق های جردن یا نگاشت های مشتق پذیر در یک نقطه، مشتق می باشند به دست می آوریم.