در این پایان نامه علاوه بر این که مفاهیم احتمالی تازه ای را معرفی می کنیم ، نظریه ی احتمالی گروه ها را به نظریه ی گراف ها پیوند می دهیم. گرافی را به گروهی نسبت داده و اطلاعات عمومی این گراف را بررسی می کنیم. گاهی اوقات ایده ی مربوط کردن گرافی خاص به گروهی معین از احتمالاتی که قبلاً معرفی شده ، ناشی شده است. در برخی موارد ساختن یک گراف کلیدی برای تعریف مفهومی احتمالی بوده است. از اهداف این رساله بررسی احتمال این است که n- تایی از عناصر گروه توسط خود ریختی داخلی از گروه ثابت بماند. علاوه براین که اثبات می کنیم که مقدار احتمال برای گروه های آیزوکلینیک برابر است مقدار احتمال را برای رده هایی از گروه ها محاسبه می کنیم. از مفاهیم دیگری که در این پژوهش به آن پرداخته ایم، n - امین درجه ی پوچ توانی نسبی دو زیرگروه از گروه،است. در واقع احتمال این است که جابه جاگری از وزن n+1 از عناصر برابر یک شود به طوری که مولفه ی اول آن از یک زیرگروه و مولفه ی آخر آن از زیرگروه دیگرانتخاب شود. n– امین درجه ی جابه جایی نسبی گروه نسبت به زیرگروه دلخواه آن عبارت است از احتمال این که توان n – ام عنصری تصادفی از زیرگروه با عضوی از گروه جا به جا شود. بدنه ی اصلی این احتمال بر مبنای درجه ی جابه جایی و n- امین درجه ی جابه جایی است. علاوه براین تاثیر تغییر ساختار گروه را روی مقدار احتمال بررسی خواهیم کرد این احتمال را برای گروهی فشرده تعریف خواهیم کرد. این احتمال کلیدی برای تعریف n – امین گراف ناجابه جایی نسبی است. به گروهی متناهی که پوچ توان از رده ی حداکثر n نیست و زیر گروه از آن گراف نا پوچ توان نسبی از رده ی حداکثر n،را نسبت می دهیم. در نهایت احتمال مزدوج بودن دو عنصر که اخیرا معرفی شده است ایده ی ساختن گراف مزدوج را در ذهن ماالقا می کند.

هدف از این پایان نامه توصیف نیم گروه ها با سیستم های انژکتیو چگال دنباله ای ‏است. ‏مفهوم تکریختی های چگال دنباله ای و انژکتیوی اولین بار توسط ژولی برای سیستم ها )n?,min)تکر?خت?هایچگال دنبالهای وانژکت?وی اول?نبار توسط ژول? برای س?ستمها رویتکواره ‎ ‎ ‏معرفی گردید. ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎در این پایان نامه این مفهوم‏‏، روی یک نیم گروه دلخواه توسعه ‏داده می شود. رفتار مفاهیم انژکتیوی‏، ضرب‏، هم ضرب‏ و ضرب انژکتیوی آن ها را مورد مطالعه قرار می دهیم. رسته ی ‎s‎‎‎‏-سیستم ها از سیستم ها را روی نیم گروه ‎‎‎‎s‎‎‏ و زیر رده قراردادی ‎m‎‎‏ از تکریختی ها می گیریم و به طور مشابه مفاهیم انژکتیوی تحت ‎‎‎‎ m‎ و مفاهیم ضرب‏، هم ضرب و ضرب انژکتیوی را روی آن ها مورد مطالعه و بحث قرار می دهیم