در این پایان نامه روش توابع پایه برای حل معادلات دیفرانسیل پاره ای در فضای سه بعدی و همچنین معادلات مقدار اولیه-مقدار مرزی توسعه داده شده است. در روش توابع پایه بخش همگن معادلات دیفرانسیل به صورت ترکیب خطی از توابع پایه نمایی تقریب زده می شود. برای محاسبه ضرایب ثابت در سری جواب، از تبدیلی ویژه استفاده شده است. نحوه انتخاب توابع پایه تشکیل دهنده سری جواب، نقش مهمی در برآورد دقیق جواب معادله ایفا می کند. برای این منظور، الگویی جدید برای انتخاب توابع پایه، بر مبنای تعیین میزان نوسان شرایط مرزی ارایه شده است. در این راستا کارآیی الگوی جدید در حل برخی معادلات دو بعدی مورد بررسی قرار گرفته است. در ادامه پس از توسعه فرمول بندی روش توابع پایه برای حل معادلات سه بعدی و معادلات مقدار اولیه-مقدار مرزی، الگوی جدید انتخاب توابع پایه برای حل این معادلات تعمیم داده شده است. برای محاسبه بخش خصوصی جواب معادلات سه بعدی نیز از روش توابع پایه همراه با ارایه الگوی جدید انتخاب این توابع استفاده شده است. در این پایان نامه حل معادله دیفرانسیل لاپلاس، هلمهولتز و معادله موج الاستیک به روش توابع پایه به عنوان نمونه ای از مهمترین و پرکاربرد ترین معادلات دیفرانسیل سه بعدی مورد توجه قرار گرفته است. همچنین به عنوان گام نخست توسعه روش توابع پایه برای حل معادلات مقدار اولیه-مقدار مرزی، حل دومعادله یک بعدی حرارت و پخش و جابجایی وابسته به زمان بررسی شده است. مثال های حل شده بیانگر آن است که استفاده از روش توابع پایه همراه با الگوی جدید انتخاب پایه های جواب، به خوبی قادر به حل مسایل مختلف با انواع شرایط مرزی با نوسانات کم تا زیاد می باشد.

هدف اصلی این پژوهش ارائه دو روش عددی جدید و کارآمد برای حل معادلات دیفرانسیل وابسته به زمان است. ویژگی اصلی روش اول، ارضاء دقیق معادله دیفرانسیل حاکم با انتخاب مناسب پایه های نمایی برای تشکیل سری جواب است. این روش در پژوهش های قبلی برای حل معادلات مقدار مرزی در فضای دوبعدی و سه بعدی استفاده شده است. دقت مناسب نتایج به دست آمده،کاربرد روش استفاده از توابع پایه در حل معادلات مقدار مرزی-مقدار اولیه را توجیه پذیر می نماید. از این رو در بخش اول این پایان نامه، فرمول بندی و نتایج روش بدون باقی مانده استفاده از پایه های نمایی برای حل معادلات وابسته به زمان یک بعدی و دوبعدی ارائه خواهد شد. کارآیی روش در حل دسته وسیعی از مسائل شامل معادله انتقال حرارت گذارا، معادله انتشار موج اسکالر و معادله انتشار موج الاستیک بررسی شده است. برخی دیگر از قابلیت های این روش نظیر توانایی حل مسائل معکوس انتقال حرارت، معادلات دیفرانسیل مقدار مرزی- مقدار اولیه با شرایط غیر کلاسیک و مسائل با مرزهای متحرک هستند. در بخش دوم این پایان نامه، یک روش حل گام به گام زمانی برای حل مسائل موج اسکالر و موج الاستیک معرفی خواهد شد که علاوه بر مزایای روش قبلی، قابلیت حل مسائل با دامنه های نامنظم و یا مرزهای نامحدود را دارا باشد. ایده روش گام به گام زمانی، استفاده از روابط پیش انتگرال گیری در کنار معادلات تعادل است. در این روش شرایط اولیه به صورت دقیق و معادله تعادل با استفاده از روش باقی مانده وزنی زمانی ارضاء می شوند. شرایط مرزی نیز بر روی مجموعه نقاط انتخابی بر روی مرز مسأله و در انتهای هر گام زمانی ارضاء می شوند. مهم ترین امتیاز این روش، ذخیره سازی اطلاعات هر گام زمانی بر روی ضرایب پایه های نمایی است، به گونه ای که پیشروی حل در زمان بدون نیاز به انتخاب نقاط درون دامنه و فقط با استفاده از یک رابطه بازگشتی مناسب برای اصلاح ضرایب پایه های نمایی انجام می شود.