فرض کنیم ‎a‎ و‎a‎ به ترتیب نشانگر مجموعه ریشه های چندجمله ای‎p ‎ومجموعه ریشه های مشتق آن‎ p‎باشد. قضیه کلاسیک گوس-لوکا ‎بیان می کند‎: ‎پوش محدب ‎ a‎دربرگیرنده‎ a‎است‎. ارتباط بین دو مجموعه ‎a‎و‎ a‎موضوع تحقیقات دوقرن اخیربوده واین تحقیقات تاکنون نیزادامه دارد. اگر‎¯( d)(0‎,‎1)‎قرص یکه بسته با مرکزصفروشعاع واحدباشد، حدس سندوف(نام دیگرآن حدس ایلیف) بیان می کند هرگاه‎a?¯d(0‎,‎1)‎، آنگاه برای هر‎a?a‎ قرص بسته بامرکز‎a‎ وشعاع واحد محتوی حداقل یک نقطه بحرانی‎a?a‎است. ما در این زمینه مقالاتی راکه اخیراًمنتشرشده مطالعه نموده ونتایج آنهارادراین پایان نامه آورده ایم. ازجمله کارهای برون ‎،فلپس ورودریگز ،‎شمایسر ‎،بورچیا وکارهای دیگران. حدس سندوف درحالت عمومی بازاست امادرحالات مخصوصی ثابت شده است که این اثبات ها را ارائه می نماییم.

حدس سندوف در باره ارتباط بین مکان ریشه های یک چندجمله ای و نقاط بحرانی آن در سال 1959 توسط blagvest sendov ریاضیدان بلغاری مطرح شد. در این پایان نامه ما روند تاریخی حدس سندوف و اثبات های آن برای درجات مختلف چندجمله ای ها را بررسی کرده ایم.