گروه های فوخسی در شاخه های مختلط هندسه و آنالیز مطرح شده و مورد بررسی قرار می گیرند. یکی از مهمترین کاربردهای گروه های فوخسی در رده بندی رویه های ریمان هذلولوی است که در آنالیز مختلط چندمقداری مبحثی بسیار مهم بوده و در رشته های فنی مهندسی نیز کاربرد زیادی دارد. هر زیرگروه psl(2,r) که به طور ناپیوسته ویژه روی h صفحه هذلولوی عمل کند را یک گروه فوخسی گویند و برای هر گروه فوخسی بی تاب مانند ? فضای خارج قسمتی h? یک رویه ریمان است. همچنین کوچکترین زیرمجموعه بسته از مرز h که ? روی آن به طور ناپیوسته ویژه عمل می کند را با ?(?)‎ نمایش داده و آن را مجموعه نقاط حدی ?‎ گویند. در واقع این مجموعه با بستار مجموعه نقاط ثابت عناصر هذلولوی ?‎ برابر است. فصل اول پایان نامه به پیشنیازهای فصل های دوم و سوم اختصاص یافته است. در بخش اول این فصل ضمن تعریف رویه ریمان، مفاهیمی چون هلومورفیک و نگاشت هلومورفیک بین رویه های ریمان را بیان می کنیم. در بخش دوم ابتدا مدل های صفحه هذلولوی یعنی نیم صفحه بالایی h و مدل دیسک پوانکاره ‎ d‎ را معرفی نموده و بعد از آن تبدیلات موبیوس روی این دو مدل را تعریف کرده و آن ها را به سه دسته کلاس بندی می کنیم. این کلاس بندی بر اساس نقطه ثابت و اثر‎‎ آن ها می باشد. در بخش سوم این فصل نیز به تعریف عمل گروه و عمل ناپیوسته و ناپیوسته ویژه روی فضای توپولوژیک می پردازیم و تعاریف معادلی را برای عمل ناپیوسته ویژه بیان می کنیم. تعریف گروه فوخسی و چند نتیجه مهم از جمله عمل ناپیوسته ویژه‏، گروه فوخسی‏، دامنه بنیادی و دامنه دیریکله گروه های فوخسی ‎ و همچنین خلاصه ای از یکنواخت سازی رویه های ریمان نیز در فصل دوم آورده شده است. در فصل سوم مجموعه نقاط حدی گروه های فوخسی و کاربردهای آن را بیان می کنیم. از کاربردهای مجموعه نقاط حدی می توان به تقسیم بندی گروه های فوخسی به نوع اول و نوع دوم، ابتدایی و غیرابتدایی و ... اشاره کرد. بخش آخر که یکی از مهم ترین بخش های این فصل است به بررسی بعد هاسدورف مجموعه نقاط حدی گروه های فوخسی اختصاص یافته است. مراجع این فصل نیز ‎‎ می باشد.