در این پایان نامه ما به مطالعه پایداری لیاپانف و انشعاب هاف در یک سیستم تنظیم کننده گریز از مرکز وات با یک موتور بخار پرداخته ایم. تنظیم کننده گریز از مرکز وات وسیله ای است که به طور اتوماتیک سرعت یک موتور را کنترل می کند. در این پایان نامه سیستم تنظیم کننده گریز از مرکز وات که به یک موتور بخار وصل شده است به طور اختصار سیستم تنظیم کننده وات (wgs)نامیده می شود. ما در این پایان نامه راهی ساده برای فهمیدن انشعاب هاف در یک wgs نشان داده ایم و بر این عقیده هستیم که طرح ما مزیت مرتبط کردن پارامترهای فیزیکی سیستم و پایداری نقطه سکون و انشعاب مدار متناوب را دارا می باشد.

در این رساله، ما مفهوم نوار نامتناهی و نواری از هذلولوی ها را بعنوان مراکز سازماندهی سیکل های حدی، در دستگاه های معادلات دیفرانسیل روی صفحه معرفی کرده و وقوع یک نوار از هذلولوی ها را در دستگاه های درجه 2 بررسی می کنیم. به منظور حل قسمت متناهی از مسئله 16 هیلبرت برای دستگاه های درجه 2، دوری گراف های تباهیده را مورد بررسی قرار می دهیم. در این راستا از روش هایی از نظریه اختلال تکین و انتگرال های دیورژانس کند کمک می گیریم. یادآور می شویم که روش انجام شده در این رساله در تولید سیکل های حدی با استفاده از نوارهای نامتناهی روشی جدید و متفاوت با کارهایی است که تا کنون در این زمینه انجام شده است.

معادله دیفرانسیل بیان کننده معادله حرکت یک نوسان کننده خطی است که مدارهای جواب آن تناوبی بوده و در یک منیفلد سه بعدی قرار دارند. سوال اساسی که در اینجا مطرح می شود این است که آیا جوابهای دوره ای تحت اختلالهای خطی یا غیر خطی باقی می مانند؟ در این تحقیق معادله دیفرانسیل (1) را تحت اختلالات کوچک مورد بررسی قرار داده و با استفاده از قضایای مربوط به منیفلد مرکزی در نزدیکی انشعاب هاپف سیستم رابه یک سیستم دوبعدی تقلیل می دهیم. این معادله دیفرانسیل تحت اختلال با پارامتر بزرگ به یک سیستم برآشفته تکین تبدیل می گردد که با استفاده از انشعاب هاپف در اینگونه سیستم ها نتایجی برای جوابهای دوره ای در این حالت به دست می آوریم. همچنین قضیه میانگین گیری را که ابزاری برای به دست آوردن جوابهای دوره ای به شمار می رود، در حالتهای غیر هذلولوی توسعه می دهیم.

امروزه در علوم کاربردی، محققان با سیستمهایی روبرو هستند که بعلت وجود برخی مسائل مانند نیروی خارجی و یا اصطکاک، بصورت خانواده از معادلات دیفرانسیل مدل سازی می شوند، یعنی وابسته به یک و یا چند پارامتر هستند. این مسأله توجه بسیاری از محققان را به خود جذب کرده است. معمولاً وجود عواملی مانند نیرو و اصطکاک در مدل سازی سیستمها بوسیله معادلات دیفرانسیل را بصورت جملات اختلال وابسته به یک یا چند پارامتر نشان می دهند.‎ ‎در‎ این رساله هدف ما بررسی اثر اختلالات کوچک بر سیستمهای معادلات دیفرانسیل است. بویژه در فصلهای سوم و چهارم توجه مان بر سیستمهای معادلات دیفرانسیل با سمت راست ناپیوسته است، که به نوبه خود سهم عظیمی در تحقیقات علمی اخیر داشته اند و نزد محققان علوم مهندسی و ریاضی از اهمیت ویژه ای برخوردارند.‎‎‎ ‎بسیاری از پدیده های فیزیکی نظیر پدیده های مکانیکی و الکترونیکی اغلب همراه با یک نوع نا پیوستگی مدل سازی می شوند و این امر لزوم توجه به سیسنم های نا پیوسته را فراهم میسازد. یکی از مهمترین انواع سیستم های ناپیوسته، سیستم های فیلیپوف می باشد که توسط مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول با سمت راست نا پیوسته توصیف می گردند‎.‎ یکی از مهمترین موضوعاتی که در مورد سیستم های دینامیکی مطرح است و همواره موضوع بسیاری از تحقیقات علمی دانشمندان و ریاضیدانان بوده است بحث جوابهای دوره ای یک سیستم است، از آن مهمتر بحث باقی ماندن جوابهای دوره ای بعد از اثر دادن اختلال بر روی سیستم می باشد‎.‎ هدف ما در این رساله بررسی جوابهای دوره ای سیستم معادلات از نظر حفظ شدن، بعد از اثر دادن اختلالات کوچک بر روی آن می باشد‎‎‎. ‎‎لذا در ‎ابتدا‎ مقدمه ای بر سیستمهای معادلات دیفرانسیل و همچنین نظریه پیوستاری خواهیم داشت. در فصل اول به ذکر مقدمات مورد نیاز، در قالب معرفی کارهای چیکون در نظریه پیوستاری و همچنین کارهای فیلیپوف در زمین? دستگاههای معادلات دیفرانسیل با سمت راست ناپیوسته، پرداخته ایم. در فصل دوم اختلالات چند پارامتری بر سیستمهای معادلات دیفرانسیل معمولی را در نظر گرفته ایم و با استفاده از توسع? روش چیکون به دو و سه پارامتری برخی نتایج در مورد سیستم لینارد با اختلال خودگردان حاصل گردیده است. همچنین با اعمال روش چلینگ ورس در مورد اختلالات چند پارامتری، نتایجی در رابطه با سیستم لینارد با اختلالات غیر خودگردان بدست آورده ایم. در فصل سوم نظریه پیوستاری را برای سیستمهای معادلات دیفرانسیل با سمت راست ناپیوسته تعمیم داده ایم و سه مثال کاربردی را با استفاده از آن حل کرده ایم. بالاخره در فصل چهارم رهیافتی نو به منظور پیدا کردن شروط لازم جهت وجود جوابهای دوره ای و هموکلینیک در رده ای خاص از معادلات دیفرانسیل با سمت راست ناپیوسته ارائه گردیده است که مبتنی بر یک روش تقریبی می باشد.

در آزمایشاتی که روی dna تخریب شده ی سلول های پستانداران انجام شده، دینامیک جالبی از پروتئین p53 در فرآیند ترمیم چرخه ی سلّولی مشاهده گردید. پروتئین p53، شامل سه وظیفه اصلی است 1-از چرخه ی سلّولی جلوگیری می کند، در نتیجه به سلّول زمان می دهد کهdna تخریب شده را ترمیم کند. 2- ژن های مسئول ترمیم dna را فعّال می کند. 3- باعث مرگ سلّولی می شود. تحقیقات نشان داده، پروتئین p53 در برابر آسیب dna شروع به نوسان کرده که این پدیده را می توان توسط یک نوسان گر توصیف کرد. مدل ساده ای از این نوسان گر شامل دو نوع پروتئین p53 وmdm2 است که توسط آنزیم atm فعال می گردد. این نوسان گر شبیه مدار الکتریکی ای رفتار می کند، که توسط سوئیچatm روشن و خاموش (on/off) می شود. در این پایان نامه به مسئله ی پروتئین p53 و نقش آن در ترمیم و عدم ترمیم dna پرداخته و مدل پارامتری معادلات دیفرانسیل معمولی (ode) را برای آن ارائه می دهیم . سپس نقش تئوری انشعاب را بر ترمیم و یا عدم ترمیم dna در این مدل برّرسی کرده و با استفاده از آن به توصیف مسئله می پردازیم. همچنین نشان می دهیم که پارامترها، با به وجود آمدن انشعاب در یک سیگنال آسیب تغییر می کند. به عبارت دیگر هنگامی که dna تخریب می شود ، مناطقی که توسط این سیگنال آسیب پوشش داده شده، توسط یک انشعاب از حالت پایداری در ترمیم سلّول به پایداری آسیب تغییرکرده و برعکس به وسیله ی انشعاب دیگر از حالت پایداری آسیب، به ناحیه پایدارِ ترمیم تغییر می کنند

معادله ون در پل کاربرد زیادی در مدل سازی پدیده های فیزیکی، مهندسی(مکانیک)، بیولوژیکی دارد, همچنین بعنوان یک مدل در مدارهای الکتریکی در دیود و لیزر دیود بکار می رود. بدین سبب معادله ون در پل مورد توجه ریاضیدانان و مهندسین زیادی واقع شده است. معمولا در ‎ تجزیه و تحلیل مدلها‎, پایداری نقاط سکون و مدارهای دوره ای از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است. نقاط پایداری و جواب های دوره ای معمولا تحت اختلالاتی حتی کوچک‎,‎ امکان دارد تغییر کند برای بررسی این مطلب تئوری انشعاب مطرح شد. لذا در این پایان نامه, پایداری و انشعاب دو معادله ون در پل درگیر با توجه به تاخیر زمانی مورد مطالعه قرار خواهدگرفت. بنابراین تغییر پایداری یعنی اینکه از ناپایداری به پایداری و بالعکس با استفاده از یک دنباله از انشعاب هاف بررسی می شود و با استفاده از نرمال فرم ها و قضیه منیفلد مرکزی به محاسبه جهت انشعاب هاف و پایدار کردن جواب های دوره ای ناپایدار در معادلات با تاخیر زمان خواهیم پرداخت.

با توجه به این حقیقت که آونگ غیرخطی مدلی جالب توجه برای پژوهشگران در حوزه علوم مهندسی می باشد ، در این پایان نامه مسأله آونگ غیرخطی را مورد بررسی قرار می دهیم. این سیستم ها غالبا دارای جواب های دوره ای می باشند و می دانیم جواب های دوره ای نقش اساسی در مسائل کاربردی دارند. جواب های دوره ای می توانند پایدار یا ناپایدار باشند که پایدار کردن جواب های دوره ای با استفاده از روشهای کنترل سیستم از اهمیت خاصی برخوردار است .

یکی از معمول ترین مدل های ریاضی در زیست شناسی، مدل شکار ـ شکارچی می باشد که در آن تعامل بین دو گونه از موجودات، که یکی شکار ودیگری شکارچی نامیده می شود، مدل سازی می گردد. مدل دیگری که مورد توجه بسیاری از محققان واقع شده است، مدل شیوع بیماری مسری در یک گونه ی جمعیتی است. که در آن تأثیرات شیوع بیماری بر رشد یک گونه ی جمعیتی مورد مطالعه قرار می گیرد. با تلفیق مدل ریاضی یک بیماری اپیدمیک با مدل شکار ـ شکارچی، مدلی حاصل می شودکه تأثیر شیوع بیماری در یکی از دو گونه را بر تعاملات هر دوگونه توصیف می کند. این مدل به مدل اکواپیدمیکی معروف است. بر اساس مشاهدات طبیــعی می توان دریافت که تأخیر زمانی، در اغلب پدیـده های طبیعی وجود دارد. بنابراین جنبه ی مهم دیگری که در هنگام مدل سازی باید در نظر گرفته شود فاصله ی زمانی موجود برای تولید مثل شکارچی بعد از شکار است. که این زمان ممکن است برای رسیدن شکارچی به سن بلوغ و دوران بارداری باشد. ما در این پایان نامه یک نمونه از مدل های اکواپیدمیک تأخیری را ارائه می نماییم. با در نظر گرفتن تأخیر به عنوان پارامتر انشعاب، پایداری نقطه تعادل مثبت و انشعاب هاف را بررسی می کنیم. به علاوه، جهت انشعاب هاف و پایداری جواب های دوره ای انشعابی با به کارگیری فرم نرمال و قضیه ی منیفلد مرکزی برای معادلات دیفرانسیل تابعی، تعیین می شود. در پایان برای بررسی فرمول های به دست آمده یک مثال عددی ارائه می گردد.

مدل های دینامیکی برای مدلسازی بیماری های عفونی از جمله آنفولانزا شامل ساختار کوپه ای بر اساس حالت بیماری افراد جامعه است. به منظور بررسی مکانیسم ویروس آنفولانزای a، مدل معادلات دیفرانسیل معمولی (sir) را مطالعه و گسترش دادیم و با استفاده از بررسی نقاط ساکن و انشعاب های سیستم و رسم نمودارهای آن، نشان دادیم که چگونه مدل های ساده می توانند به ما در تفسیر داده های بیماری عفونی آنفولانزا کمک کنند و با شناسایی پارامترهای مهم تر و حساس تر سیستم، طراحی برنامه ی کنترل عفونت را ساده تر و قابل اعتمادتر می کنند. گروه جدید (v) را به منظور اعمال واکسیناسیون به مدل اضافه و مدل جدید (svir) را ایجاد کردیم و با استفاده از اصل بیشینه پونتریاگین یک مدل کنترل بهینه برای سیستم معرفی کرده و اثرات آنرا بررسی کرده ایم.

هدف ما در این رساله، بررسی مدل هایی از شبکه های عصبی ‎bam‎ دارای تأخیر زمانی است که به دلیل پیچیدگی، پیش از این مطالعه نشده بودند. به طور کلی، شبکه های عصبی ‎bam‎ قادر به ذخیره چندین الگو هستند و توانایی جستجوی الگوی مطلوب را از هر دو جهت پیشرو و پسرو دارند. جواب های دوره ای در این سیستم ها، به دلیل این که الگو های حافظه ای چندگانه را نشان می دهند، بسیار حائز اهیت اند. در این جا، با بررسی انشعاب هاف، وجود جواب های دوره ای در یک سیستم شبکه عصبی ‎bam‎ تأخیری که دارای دو نرون در لایه ‎x‎ و سه نرون در لایه ‎y‎ می باشد، نتیجه گرفته می شود. سپس، پایداری و دوره تناوب این جواب های دوره ای مورد مطالعه قرار خواهند گرفت. در ادامه، با ساخت تابع لیاپانف مناسب به بررسی پایداری سراسری در یک مدل شبکه عصبی ‎bam‎ هشت نرونی تأخیری خواهیم پرداخت. همچنین، از نقطه نظر وجود یا عدم وجود جواب های دوره ای، این سیستم مورد مطالعه قرار می گیرد. با توجه به پیچیدگی تحلیل انشعاب در سیستم های معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، به بررسی انشعاب در یک مدل حجره ای غیرخطی پخش واکنش، به کمک روش شبکه عصبی می پردازیم. در حقیقت، با یافتن معادلات دیفرانسیل معمولی معادل با آن، دینامیک سیستم بررسی خواهد شد. برای درک بهتر نتایج تئوری بدست آمده، مثال هایی نیز ارائه می شود.

در این پایان نامه توجه ما به مدل معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخطی در تومورهای لمفاوی و دستگاه ایمنی بدن است. به دلیل این که سیستم های ما غیرخطی و وابسته به پارامتر هستند لذا تئوری انشعاب به ما کمک می کند که این نوع سیستم ها را از نقطه نظر جواب های دوره ای و پایداری و عدم پایداری آن ها مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. دو سیستم معادلات دیفرانسیل داریم. در مدل اول که مربوط به سیستم ایمنی بدن است با توجه به تاخیر زمانی، به بررسی پایداری نقطه تعادل پرداخته و دینامیک جواب های دوره ای را با استفاده از انشعاب هاف تحلیل می کنیم. در سیستم با تأخیر زمانی و پاسخ ایمنی بدن با استفاده از آنالیز عددی، پایداری نقطه تعادل را مورد بحث قرار داده و توجه می کنیم اگر تأخیر زمانی بزرگ شود احتمال جاذب های آشوبناک وجود دارد که به آن پرداخته می شود. اما در سیستم دوم که مربوط به تومور لمفاوی است با توجه به انشعاب هاف دینامیک تومور سرطانی مورد بررسی قرار می گیرد وجود جواب های نوسان کننده ی دوره ای پایدار تحقیق خواهد شد. توجه داریم که در این نوع موارد دور حدی و جواب های دوره ای نقش اساسی در معادلات دیفرانسیل تومور سرطانی ایفا می کند. اهمیت به دست آمدن جواب های دوره ای و دور حدی (با استفاده از انشعاب هاف) در این است که با وضعیت دینامیک هر توموری بعد از زمانی معین (که جواب دوره ای آن است) به حالت اولیه باز می گردد. در خاتمه با توجه به ارائه ی مثال هایی برای هر کدام از این سیستم ها و استفاده از شبیه سازی عددی نتایج را شرح می دهیم.

همانطور که می دانیم بررسی پایداری سیستم های برق بسیار مفید است . معادله دیفرانسیل یک مدل بسیار مناسب برای سایر علوم از قبیل سیستم های برق فراهم می کند . همچنین نظریه انشعاب یک ابزار برای آنالیز کردن سیستم های پارامتری غیرخطی است . این نظریه به بررسی تغییرات یک سیستم پارامتری می پردازد . در این پایان نامه یک سیستم گاورنر وات به همراه یک فنر که یک سیستم کنترلی است مورد بررسی قرار می گیرد . تحلیل پایداری وضعیت های تعادل و نوسانات کم دامنه ی این سیستم هدف ما خواهد بود . در این جا ابزار مهم در تحلیل پایداری ضرایب لیاپانف می باشند . پس ابتدا به تعریف این ضرایب می پردازیم و در ادامه معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم گاورنر وات با فنر را تعیین می کنیم . از آنجا که می خواهیم نظریه انشعاب را برای یک سیستم نوسان کننده ی تحت اختلال بررسی کنیم لذا انشعاب هاف را مورد بررسی قرار می دهیم . روشی که در این پایان نامه به کار می رود محاسبه ضرایب لیاپانف است . برای این منظور از نرم افزار mathematica5 استفاده می کنیم . در آخر بیان می کنیم که اگر ضرایب لیاپانف را بصورت li; i=1,2,3,4 نمایش دهیم ؛ آنگاه از روی علامت li≠0 می توان به پایداری ( li<0) یا ناپایداری ( li>0) نقطه تعادل سیستم پی برد .

این پایان نامه به بررسی وجود جواب سراسری یکتا برای یک مدل ریاضی از سرطان مهاجم بافت که اخیراً توسط chaplain و lolas پیشنهاد شده است، می پردازد. این مدل از یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی انتشار-عکس العمل که افزایش تراکم سلولهای تومور را توصیف می کند و از یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی انتشار - عکس العمل حاکم بر افزایش غلظت آنزیم شکننده پروتئین و یک معادله دیفرانسیل معمولی که انحطاط ماتریس خارج سلولی را توسط آنزیم شکننده پروتئین مدل سازی می کند ، تشکیل شده است. علاوه بر این حرکت تصادفی سلولهای تومور تحت تاثیر هاپتوتاکسیس (حرکت هدایت شده بافت سلولی در پاسخ به یک محرک متمرکز از مولکول های چسبنده در طول ماتریس خارج سلولی) ونیز کمو تکسیس (حرکت هدایت شده بافت سلولی در پاسخ به یک محرک متمرکز از انتشار آنزیم های شکننده پروتئین) می باشد. در فضای یک بعدی، وجود و یکتایی جواب کلاسیک برای این مدل ترکیبی کموتاکتیک هاپتوتاکتیک برای هر ضریب کموتاکتیک 0<% ثابت می شود. در فضاهای دو و سه بعدی، وجود جواب سراسری برای µ/% کوچک که µ رشد منطقی سلول های توموری را نشان می دهدثابت می شود . نکته اصلی اثبات، ارتقاء نظم جواب از l1 به (lp(p > 1 است. علاوه بر این وجود جواب منفجر شده به ازای ? بزرگ، برای یک زیر مدل در فضای دو بعدی از مدل اصلی نشان می دهد که شرط کوچک بودن µ/% برای وجود جواب سراسری برای مدل اصلی لازم است.