خمینه ی ریمانی (m,g) را یک خمینه ی انیشتن می نامیم هرگاه انحنای ریچی متناظر با متر ‎g‎ مضربی از خود ‎g‎ باشد. در این صورت برای یک عدد ثابت ??r ‎ خواهیم داشت r_ab=?g_ab‎. معادله ی اخیر معادله ی انیشتن نامیده می شود که یک دستگاه ‎pde ‎ مرتبه دوم غیرخطی است. در حالت کلی پیدا کردن جواب های معادله ی انیشتن کار ساده ای نیست. با این حال اگر m فشرده و یا همگن باشد، روش هایی برای ساده کردن محاسبات و تبدیل آن ها به دستگاهی ساده تر از معالات جبری وجود دارد. در این پایان نامه ابتدا به مطالعه ی مترهای انیشتن بدون کاهش طبیعی روی گروه های لی فشرده می پردازیم. سپس به مطالعه ی مترهای انیشتن روی گروه های لی فلگ با دو جمعوند برای فضای مماس و مترهای انیشتن روی گروه های لی همگن حاصل از فضای خارج قسمت گروه های لی ماتریسی خواهیم پرداخت. همچنین با استفاده از محاسبات تانسوری مستقیم در محیط نرم افزار متمتیکا، مترهای انیشتن روی گروه های لی با بعد کم را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به علاوه، متناظر با تاربندی همگن ‎m=g/l ? g/k=n‎، خانواده ای از مترهای انیشتن را روی خمینه ی همگن m‎ توصیف خواهیم کرد. چنین مترهایی را مورد قبول می نامیم. نشان خواهیم داد که یک شرط لازم برای انیشتن بودن یک متر مورد قبول تنها شرایطی ساده روی عملگرهای کازیمیر زیرجبرهای تحویل ناپذیر جبر لی ‎m‎ است. سپس مترهای انیشتن دونرمال را به عنوان حالتی خاص از مترهای انیشتن مورد قبول بررسی خواهیم کرد. همچنین مترهای انیشتن مورد قبولی که تحدید آن به فضای پایه ی n‎ و تار f=k/l‎ نیز انیشتن باشند را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به عنوان یک کاربرد، نشان خواهیم داد که فضای کووالسکی، یک متر انیشتن غیر نرمال می پذیرد. کلمات کلیدی: متر انیشتن، فضاهای همگن، مترهای کاهش یافته طبیعی، خمینه های فلگ، تاربندی