فرض کنید g یک گروه متناهی و (g) پی مجموعه تمام اعداد اول شمارنده قدرمطلق g باشد. با استفاده از مفهوم مرتبه عنصر در گروه نظریه گرافها و گروهها را به صورت زیر به هم ارتباط می دهیم: گرا اول gk(g) از گروه منتاهی g گرافی است که (g)پی مجموعه راسهای آن است و دو عنصر p و q را توسط یک یال به هم وصل می کنیم اگر و تنها اگر گروه g شامل عنصری از مرتبه pq باشد. مجموعه مرتبه عناصر یک گروه را با (g) امگا نمایش می دهیم.

منظور از وجهی های تعمیم یافته از مرتبه (s,t) نوع خاصی از فضاهای جزیا خطی است که هر خط آنها شامل s+1 نقطه و هر نقطه بر روی t+1 خط قرار دارد همچنین قطرگراف وقوع آنها برابر است در این پایان نامه به بررسی برخی از خواص این دسته از طرح های بلوکی و ارتباط آنها با گراف های فاصله منظم می پردازیم. سپس شرط های لازم وکافی برای آنکه عدد رنگی گراف هم خطی آنها برابر سه یا چهار باشد را بیان می کنیم. کمیت انرژی گراف بصورت مجموع قدر مطلق مقادیر ویژه آن تعریف می گردد. بررسی ارتباط انرژی یک گراف و زیر گراف های آن با استفاده از نامساوی های مقادیر منفرد از جمله مسایلی است که بدان پرداخته می شود. سیس انرژی وقوع یک گراف تعریف می گردد و اثبات می شود انرژی وقوع یگ گراف دو برابر انرژی گرفی دو بخشی است که از آن حاصل می گردد. درادامه گران های بالا وپایین مشابه انرژی گراف برای انرژی وقوع نیز بدست می آید. همچنین اثبات می گردد انرژی وقوع یک گراف بطور اکید از انرژی وقوع هر زیر گراف سره آن بیشتر است

در این پایان نامه به مطالعه جبرهای ساده مرکزی پرداخته و بعضی از خواص جبری و گروهیی آنها را مطالعه می کنیم بویژه حاصل ضرب های صلیبی (کلاسیک ) را مورد مطالعه قرار می دهیم محکی ارایه می کنیم که بواسطه آن یک جبر ساده مرکزی یک حاصل ضرب صلیبی کلاسیک باشد. همچنین فرض کیند که a1 و a2 دو f-جبر ساده مرکزی از درجه های نسبت به هم اول باشند ثابت می کنیم که a=a1 f a2 یک حاصل ضرب صلیبی پوژ توان است اگر و تنها اگر a1 و a2 نیز اینگونه باشند همچنین در بخش دیگری از این پایان نامه به مطالعه زیر گروه های خاص بخصوص زیر گروه های ماکسیمال یک جبر ساده مرکزی می پردازیم بویژه ثابت می کنیم که هر زیر گروه ماکسیمال و پوچ توان gln (d) یک گروه آبلی است همین حکم را برای زیر گروه های ماکسیمالی که دارای رده کلاسی های ترویجی متناهی اند نیز ثابت خواهیم نمود.

از راههای مختلف می توان گرافی را به یک گروه مرتبط کرد. قسمت عمده این پایان نامه را به تعریف گراف r(g و ارتباط آن با گروههایی که موضعا دوری نیستند اختصاص داده ایم. که این گرافها را گرافهای نادوری می نامند. ما خصوصیات این گراف را بررسی کرده و به مطالعه این مطلب می پردازیم که خواص مربوط به گرافها، چه خاصیتی در گروهها را موجب می شود. همچنین به بررسی گروههایی با گراف نادوری یکریخت می پردازیم. و برخی از خواص گروه را که با یکریختی گرافهای نادوری دو گروه از یکی به دیگری به ارث می رسد مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین گروههایی را ارایه می دهیم که توسط گراف نادوری شناسایی پذیرند. در انتها به این حدس می رسیم که اگر g گروهی ساده و غیر آبلی باشد و h گروهی باشد که گراف نادوری آن با گراف نادوری g یکریخت باشد، آنگاه h~g بخشهای بعدی پایان نامه به گرافهای ناجابجایی اختصاص داده شده است. از مقالاتی که در مورد گرافهای ناجابجایی نوشته شده حدسی به جا مانده که می گوید اگر g گروهی ساده و غیر آبلی باشد و h گروهی باشد که گراف ناجابجایی آن با گراف ناجابجایی g یکریخت است. در این صورت h=g ما در فصل انتهایی این پایان نامه با استفاده از مقاله ایی که اخیرا پذیرش گرفته به بررسی این حدس در مورد گروه a10 می پردازیم. و ثابت می کنیم که حکم فوق در مورد این گروه صادق است. تاکنون این حدس برای هیچ گروه غیر ساده ایی ثابت نشده است ما در فصل انتهایی این پایان نامه دو حدس فوق را برای pgl(2,q ) به رغم اینکه این گروه غیر ساده است بررسی می کنیم و ثابت می کنیم این گروه توسط گراف ناجابجایی، گر اف نادوری و همچنین مجموعه مرتبه مولفه هایش شناسایی پذیر است. این نتایج به صورت مقاله ایی با عنوان "some new characterizations for pgl(2,q" توسی آقای دکتر بهروز خسروی و خانم مریم خاتمی و نگارنده این پایان نامه تدوین و برای داوری به یکی از مجلات ارسال شده است.

فرض کنیم r یک حلقه جابجایی و یکدار باشد. گیریم z (r( نشان دهنده مجموعه مقسم علیه های صفر تا صفر حلقه r باد به حلقه r گرافی نسبت داده می شود که مجموعه ریوس آن (z(r است و در راس متمایز ( a,y z(rبا یک بال به هم وصل می شوند اگر و فقط اگر ay=oاین گراف را با (r) نشان می دهیم. در این پایان نامه قطر گراف های مقسوم علیه صفر و برحسب ایده آل های حلقه r مشخص سازی می شود. همچنین برای یک حلقه کاهش یافته r نامساوری های زیر ثابت می شود.