نگاشت های گویای متناهی بحرانی، آن دسته از نگاشت های گویا هستند که مدار مثبت نقاط بحرانی آن ها، متناهی است. ثابت می شود که اگ (f(z نگاشت گویای متناهی بحرانی با دقیقاً دو نقطه ی بحرانی باشد که با هیچ چند جمله ای مزدوج نیست، در این صورت هر مولفه ی فاتوی f دامنه ای ژوردن است. هم چنین اگر fنگاشت گویای متناهی بحرانی هذلولوی باشد که همه ی نقاط فرابحرانی آن، تناوبی است، در این صورت دوری از مولفه های فاتوی f که مرز آن خم ژوردن است وجود دارد. به علاوه مثال هایی از نگاشت های گویای متناهی بحرانی هذلولوی ارائه خواهد شد که مرز که دارای مولفه ی فاتوی ثابت بوده و تحدیدf به مرز آن به طور توپولوژیکی با هیچ چند جمله ای که به مجموعه ی ژولیا تحدید شده باشد، مزدوج نیست. این پایان نامه بر اساس مقاله ی k. m. pilgrim, rational maps whose fatou components are jordan domains ergod.th.& dynam. sys. (1996), 16, 1323-1343 تدوین شده است.

ثابت شده است که چند جمله ای های درجه دوم مدار گویای حقیقی از تناوب 4 ندارند. هدف این پژوهش تعمیم این نتیجه برای مدارهای گویای مختلط با استفاده از یک مدل 2-بعدی است. برای این منظور ابتدا به تعریف پیش نیازها پرداخته سپس یک مدل دو بعدی برای خانواده ی درجه دوم پیدا می کنیم و کار را ادامه می دهیم.