خم های بیضوی و رتبه آن ها نقش مهمی در سیستم های رمزنگاری ایفا می کنند. تعیین رتبه جزء مسائل پیچیده بوده و تاکنون هیچ الگوریتم کلی برای حل آن ارائه نشده است. در این رساله ابتدا الگوریتم ساده ای برای محاسبه رتبه یک خم بیضوی ارائه می کنیم. سپس به توسعه الگوریتم برای محاسبه رتبه خم هایی به فرم y^2=x^3-bxمی پردازیم. تمام این دسته از خم ها دارای گروه تاب z/2z و پایای مدولار j=1728 می باشند. روش ارائه شده را برای جستجوی خم های رتبه بالا از این خانواده از خم ها بکار می بریم و 4 خم از رتبه 13 و 22 خم با رتبه 12 پیدا می کنیم.

در این پایان نامه ، با بررسی خانواده خاصی از خم های بیضوی قادر هستیم بین مسئله یافتن مثلثهای هرون با مساحت داده شده و یافتن نقاط با فاصله گویا و چهار تایی و پنج تایی های دیو فانتی ارتباط بر قرار کنیم. که منجر به مطالعه رابطه بین این مسائل و خم های بیضوی با زیر گروه تاب می شود.

یک خم بیضوی e یک چند گونای جبری است که با تعریف یک عمل جمع روی نقاط به یک گروه آبلی متناهی مولد تبدیل می شود و ساختار آن بنابر قضیه ی اساسی گروه های آبلی و قضیه ی موردل به صورت e= zr + ztors می باشد. که در آن r? 0 رتبه ی خم بیضوی نامیده می شود. دسته بندی خم های بیضوی با استفاده از رتبه ی آن ها یکی از مسائل کلاسیک می باشد. در این پایان نامه با استفاده از روش 2- نزول به بررسی رتبه ی خانواده ای از خم های بیضوی به صورت y2= x(x-p)(x-2) می پردازیم.

فرض کنید j یک جبر تک توان با بعد متناهی روی میدان گالوا باشد. گروه 1 + j = {1 + x : x ? j}با قانون ضرب (1 + x)(1 + y) = 1 + x + y + xy یک گروه جبری است. در این پایان نامه یک فرآیند برای بررسی سرشت های گروه ماتریس های بالا مثلثی تک توان فرمول بندی می کنیم و نشان می دهیم این سرشتها به صورت چندجمله های با متغیر q می باشند.

خم های بیضوی و رتبه آن ها نقش مهمی در سیستم های رمزنگاری ایفا می کنند. تعیین رتبه جزء مسائل پیچیده بوده و تاکنون هیچ الگوریتم کلی برای حل آن ارائه نشده است. ‎‎ در این پایان نامه ابتدا الگوریتم ساده ای برای محاسبه رتبه ی‎‎‎‎ خم های بیضوی خاص ارائه می دهیم که معادله آن ها در زیر آمده است.‎‎ ‎‎‎‎$ ‎e‎:‎~‎y^{2}=x^{3‎}-‎npx‎‎‎ ‎$‎‎، که در آن‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎n=1‎ ‎$‎‎ یا‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎n=2‎ ‎$‎‎ و‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎p‎ ‎$‎‎ عدد اول فرما یا مرسن و یا به فرم‎‎‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎2p=(u^{2‎}+‎2v^{2‎}‎‎)^{4‎}+‎(u^{2‎}-‎2v^{2‎}‎‎)^{4‎}‎‎ ‎$‎‎ می باشد، می پردازیم.‎‎‎ این نوع خم ها از رتبه حداقل صفر و حداکثر‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎3‎ ‎$‎‎ می باشند.‎‎‎ ‎بلاخره آخرین قسمت پایان نامه بررسی ساختار گروهی خم های بیضوی به فرم‎‎‎‎‎ ‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎e‎:‎~‎y^{2}=x^{3‎}+‎pq‎x‎‎‎ ‎$‎ با رتبه‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎4‎ ‎$‎‎ است که در آن‎‎‎ ‎‎‎‎$ ‎q‎,‎p‎ ‎$‎‎ دو عدد اول متمایز هستند.‎‎‎ ‎تمام این خم ها دارای گروه تاب‎‎‎ ‎‎‎‎$mathbb{z}/(2 ‎mathbb{z})$ می باشند.

اویلر برای این معادله دو جواب پارامتری ارایه نمود ولی جواب های کلی این معادله هنوز مشخص نیست. روشهایی که در این تحقیق از آن استفاده می شود عبارتند از سه تایی های فیثاغورسی ، شبه جواب ، شبه جواب فاکمبرگ، کاهش جبری، وتبدیلات پارامتری که هر روش دسته خاصی از جوابها را در بر می گیرد.سپس مثال های عددی بر اساس روش های فوق ارایه می گردد.این پایان نامه شامل لیست نا تمام از 218 جواب غیر بدیهی اولیه در اعداد صحیح کوچکتر از 10^6 می باشددر پایان کاربردی از پارامتری سازی اویلر در محاسبه رتبه خم بیضوی ارایه می شود.

در این پایان نامه‏، خانواده ای نا متناهی از خم های بیضوی پارامتری وابسته به ‏‏میدان های ساده درجه 3 را مورد‎ مطالعه قرار می دهیم. اگر رتبه چنین خم هایی برابر 1 باشد‏، ساختار گروهی و نقاط صحیح این خم ها را پیدا می کنیم. هم چنین نتایج مشابهی برای زیر خانواده ای نامتناهی از خم های با رتبه 2 بدست می آوریم. این کار یعنی تعیین ساختار گروهی و یافتن نقاط صحیح برای اولین بار روی خانواده ای نامتناهی از خم های بیضوی از رتبه 2 انجام شده است. ارتفاع کانونی ابزار اصلی ما برای این مطالعه است

در این پایان نامه به مطالعه ابر رویه های فضا فرم های ساساکی پرداخته و این ابر رویه ها را در شرایطی چون خمیدگی ثابت هولومرفیک ضعیف، عملگر شکلی برگشتی، ‎d‎-برگشتی، موضعا متقارن بودن و همچنین با عملگر ژاکوبی تعویض پذیر روی میدان برداری مشخصه را مورد مطالعه و بررسی قرار می دهیم. بعلاوه ابررویه هایی با شرط خمیدگی هولومرفیک ضعیف ثابت را در فضای مختلط تصویری بررسی می کنیم. همچنین ابررویه های فضای کنموتسو را در حالت کلی مورد بررسی قرار می دهیم. در آخر زیر خمینه هایی با ضربهای پیچشی در ‎3-‎ساختارهای ساساکی را مطالعه می کنیم.

نظریه گروهها کاربردهای متعددی در حل مسائل ریاضی،و به صورت کاربردی ترذر شیمی و فیزیک دارد.در این پایان نامه توسیع یک تابع کلاسی با استفاده از القاء تانسوری و القاء فروبنیوس را نشان داده و ارتباط آنها را بررسی می کنیم. و نشان می دهیم که چگونه هر جمعوند توسط اولین القاء تانسوری و سپس القاء فروبنیوس ارایه می شود. در این پایان نامه عبارت گفته شده را دقیق بررسی خواهیم کرد. به عنوان مثال القاء تانسوری کاراکترهای تک جمله ای در نظر گرفته می شود

این پژوهش در رابطه با پیاده سازی و اجرای زوج سازی موثر روی کاهش طول حلقه (حلقه میلر) و استفاده از پیچش های با درجه بالا متمرکز شده است. وجود پیچش با درجه بزرگتر از ‎2‎ یک ویژگی محدود کننده است که برای تمامی خم های بیضوی امکان پذیر نیست، اما امکان ساختن خم های بیضوی دارای زوج سازی صریح با چنین پیچش هایی وجود دارد. فریمن، اسکات و تسک در مقاله مشترک خود نشان دادند که با بهترین روش های شناخته شده از خم های بیضوی با زوج سازی صریح، روی میدان های با مشخصه بزرگ، می توان خمی ساخت که پیچش از درجه ‎3‎، ‎4‎ و یا ‎6‎ می پذیرد‎. فرمول های صریحی برای مراحل جمع و مضاعف سازی الگوریتم میلر در مقالات کمی ارائه شده اند. اما این دستورها برای زوج سازی تیت با پیچش از درجه ‎2‎ به طور کامل انجام شده اند. لذا استفاده از پیچش های با درجه بالا، با فرمول های صریح ناکارآمد مانده اند‎. در این پایان نامه فرمول های صریحی برای خم های با پیچش از درجه ‎2‎، ‎3‎، ‎4‎ و یا ‎6‎ ارائه می دهیم که این فرمول ها اساسأ سریعتر از فرمول های قبلی هستند. نشان می دهیم که چطور این فرمول های سریعتر را می توان برای زوج سازی تیت و ایتی بکار برد و به تمام پیشنهادهای عملی برای اجرای زوج سازی کارآمد روی میدان های با مشخصه بزرگ سرعت بخشید

فرض کنید ‎$ d $‎ درجه ی یک کاراکتر تحویل ناپذیر از گروه متناهی ‎$ g $‎ باشد، می دانیم که ‎$ d mid vert g vert $‎ و همچنین ‎$ d^{2} leq vert g vert $‎. به ازای ‎$ e eq o $‎، داریم: ‎$ vert g vert = d (d‎ + ‎e) $‎. واضح است که اگر ‎$ e = o $‎‏‏‏‏، ‎$ g $‎ گروه بدیهی خواهد بود به طور مشابه به ازای ‎$ e = 1 $‎ که کلاسبندی توسط بئرکویش‎ در قضیه ‎$ 7 $‎ از ‎$ [1] $‎ کامل شده بود نشان داد که ‎$ e = 1 $‎ است، اگر و فقط اگر ‎$ vert g vert = 2 $‎ یا ‎$ g $‎ یک گروه فروبینیوس‎ $ 2 $-‎گانه متعدی باشد. حالت ‎$ e = 2 $‎ در دو مرجع ‎$ [1] $‎ و ‎$ [30] $‎ منتشر شده و همینطور برای حالت ‎$ e = 3 $‎ کلاسبندی توسط اسنایدر‎‎ در ‎$ [30] $‎ کامل شده است. برای هر دو حالت ‎$ e = 2 $‎ و ‎$ e = 3 $‎ فقط تعداد متناهی از گروهها با این مقادیر ‎$ e $‎ وجود دارد. برای حالت ‎$ e = 1 $‎ در حقیقت خلاف قاعده ای به عنوان کران بالا روی ‎$ vert g vert $‎ وجود ندارد. روش اول از اثبات اسنایدر در ‎$ [30] $‎ برای ‎$ e geq 2 $‎ یک کران بالا روی ‎$ vert g vert $‎ شامل ‎$ e $‎ می باشد. آیزاکس بعداً در ‎$ [14] $‎ اثبات کرد که یک کران چندجمله ای برای مرتبه ای از ‎$ g $‎ با ‎$ be^{6} $‎ وجود دارد که ‎$ b $‎ یک عدد ثابت است. آیزاکس برای رسیدن به کران روی ‎$ vert g vert $‎ در حالتی که ‎$ g $‎ یک زیرگروه نرمال مینیمال غیرآبلی منحصربفرد دارد، در ‎$ [21] $‎ از نتایج لارسن‎،‎ مل‎ و تیپ‎استفاده کرد که به کلاسبندی گروههای ساده وابسته است. با بدست آوردن یک کران از ‎$ e^{6}‎ - ‎e^{4} $‎ به عدد ثابت و نامعلوم ‎$ b $‎ دست می یابیم. این عمل را بدون وابستگی به کلاسبندی با نمایش دادن ‎$ dgeq e^{2} $‎ انجام می دهیم، پس ‎$ g $‎ یک زیرگروه نرمال مینیمال منحصربفرد دارد که آبلی است. در مجموع می بینیم که در بسیاری از موارد بدست آوردن کران از ‎$ e^{4}‎ + ‎e^{3} $‎ ممکن است و شرایط کافی برای تضمین یک کران از ‎$ e^{4}‎ - ‎e^{3} $‎ را توضیح می دهیم.

در این پایان نامه اعداد تاکسی کب و کب تاکسی و برخی از خواص آنها معرفی می شوند و الگوریتمی جهت محاسبه اعداد تاکسی کب جدید و کمینگی آنها ارائه می شود و به ارتباط این اعداد با خم های بیضوی و محاسبه رتبه خم بیضوی پرداخته می شود، که در آن . نشان می دهیم که معادله دیوفانتی دارای جواب است اگر و فقط اگر خم بیضوی بالا دارای رتبه مثبت باشد.

خمهای بیضوی از مطالعه روی توابع بیضوی نشئت گرفته است که نتیجه کار ریاضیدانانی چون وایرشتراس، آبل و ژاکوپی می باشد. یک خم بیضوی با معادله y^2=x^3+ax+b تعریف می شود که برای ضرایب گویای a و b مقدار عبارت 4a^3+27b^2 ناصفر است. جوابهای گویای این خم تشکیل گروهی به نام مردل- ویل با نماد (e(q می دهد. در سال 1901 هنری پوانکاره حدس زد که این گروه متناهی مولد است. در سال 1922 ساختار e(q) توسط لوئیس مردل تعیین و در رساله آندره ویل در سال 1928 تعمیم داده شد. گروه e(q) به افتخار این دو ریاضی دان معمولا گروه مردل-ویل e نامیده می شود. لوئیس مردل ثابت کرد که این گروه با جمع مسقیم زیرگروه تابدار (e(q و کپی هایی از z یکریخت است. تعداد کپی های z را رتبه خم e گویند و با r نشان می دهند. که پیدا کردن ان کاری بسیار مشکل است و تا کنون خمهای محدودی با رتبه های خاص شناخته شده اند. در فصل اول این پایان نامه به بیان مفاهیم اولیه خمهای بیضوی که در بالا خیلی مختصر به ان اشاره شد، پرداخته ایم. برای پیدا کردن رتبه یک خم نیاز به مفاهیمی به نام 2- سلمر گروه و گروه شفروویچ- تیت داریم که در فصل دوم به انها اشاره شده است. مهمترین حدس مربوط به رتبه یک خم منسوب به بیرچ و سوئینرتون- دایر می باشد که در فصل سوم بیان شده است. هدف اصلی این پایان نامه، بیان شده در فصل 4، مطالعه بر روی خمهایی با زیرگروه تابدار z_2*z_8 و رتبه 4 می باشد که پس از بررسی مشاهده شد که چنین خمی وجود ندارد. نهایتاْ از آنجا که علوم کامپیوتر در ریاضیات نقشی تسهیل کننده دارند، بعضی از دستورات مرتبط با خمهای بیضوی در برنامه ای به نام سیج را در انتهای هر فصل آورده ایم.

فرض کنیدn یک عدد صحیح بصورت n=p4+q4=r4+s4است. یک خانواده جدید از خمهای بیضوی بصورت y^2=x^3-nx تعریف می کنیم. نشان می دهیم رتبه این خانواده حداقل برابر 3 است. با فرض درست بودن حدس زوجیت، ثابت می شود که حدقل رتبه برای این خانواده برابر 4 است. درستی حدس سیلورمن در رابطه با پیچش درجه دوم یک خم بیضوی را برای این خانواده بررسی می کنیم. در انتها، معادله دیوفانتی درجه چهارم x^4+y^4=2(u^4+v^4) را برای اولین بار با دو روش مختلف حل کرده و نشان می دهیم بیشمار جواب صحیح برای این معادل وجود دارد. به کمک جوابهای این معادله یک خانواده جدید از خمهای بیضوی با رتبه حداقل 5 تعریف می کنیم.

در فضاهای مختلط تصویری مختلط و هذلولوی مختلط نشان خواهیم داد که زیر منیفلد های اریب زیادی و سپس معادلات دیفرانسیلی مربوط به این زیر منیفلدها را بدست آورده و با حل آنها و بدست آوردن جواب خصوصی این زیر منیفلد ها را شناسایی خواهیم کرد. نشان می دهیم که در هر فضا فرم مختلط سطوح اریب حقیقی مینیمال نیستند.

در این پایان نامه یک مدول پیش دوری برای جبرهای هاپف ضربگری منظم معرفی می شود. با استفاده از این ساختارها کوهمولوژی پیش دوری و کوهمولوژِ هوخشیلد برای جبرهای هاپف ضربگری منظم تعریف می شوند. همچنین یک مفهوم از خاصیت برای سیستم های دینامیک معرفی می شود. یک گروه وار نسبت به هر منیفلد هموار ساخته می شود و در مورد منیفلد های با بعد یک نشان داده می شود که این گروه وار یک گروه وار لی است.

این پایان نامه با مساله باز مشابهی سر وکار دارد که توسط اولام به صورت زیر مطرح شده است :ایا یک مجموعه نقاط با فواصل گویای همه جا چگال وجود دارد .سولی موسی و زیوو ثابت کردند که هر زیر مجموعه با فواصل گویا در صفحه تعداد متناهی نقطه مشترک با یک خم جبری تحویل ناپذیر تعریف شده روی اعداد حقیقی دارد مگر انکه این خم یک خط یا یک دایره باشد . ثابت می کنیم که اگر s یک زیر مجموعه نامتناهی با فواصل گویا در صفحه باشد که فقط یک تعداد متناهی نقطه روی هر خط دارد انگاه این تعداد نقطه دارای یک کران یکنواخت ( مستقل از s ) ld fhan.

اگر یک مجموعه از نقاط را در نظر بگیریم، این مجموعه یک مجموعه با فواصل گویاست اگر فاصله بین هر زوج از نقاط آن گویا باشد.به عنوان مثال مجموعه {1,2,3} یک مجموعه با فواصل گویاست. این پایان نامه با مساله باز مشابهی سروکار دارد که توسط دین به صورت زیر مطرح شده است: چند نقطه روی سهمی به معادله y=x^2 می توان یافت که فاصله بین هر زوج از نقاط آن گویا باشد.

پوچسازها و ایده آلهای اول چسبیده ی مدولهای کوهمولوژی موضعی را در نقطه ی بعد مشخص کرده ایم و برای نقطه ی قبل از بعد نشان داده ایم که وقتی حلقه حوزه ی صحیح می باشد پوچساز مدول کوهمولوژی موضعی در نقطه ی قبل از بعد حلقه صفر است و به کمک آن ایده آلهای اول چسبیده ی مدولهای کوهمولوژی موضعی را در نقطه ی قبل از بعد حلقه مشخص کرده ایم.

یکی از اساسی ترین سوالات در رابطه با خم های بیضوی، چگونگی ساختار گروهی آن روی میدان ‎$q$‎ است. بنا به قضیه مردل-ویل ‎، گروه نقاط یک خم بیضوی روی یک میدان اعداد‎ ‎ ، متناهی-مولد‎ ‎ است. میزور،‎ ‎$15$‎ گروه متناهی ارائه کرد و نشان داد بازای هر خم بیضوی دلخواه روی ‎$q$‎، زیر گروه تاب‎ فقط با یکی از این ‎$15$‎ حالت یکریخت است. در حالی که محاسبه زیر گروه تاب هر خم بیضوی کار چندان دشواری نیست، به دست آوردن مولدهای مستقل قسمت آزاد‎ آن که تعداد آن ها رتبه ‎ نامیده می شود بسیار چالش برانگیز است. به طور کلی هیچ راه حل کلی که بتوان رتبه همه خم ها را به کمک آن محاسبه کرد وجود ندارد. باور کلی بر این است: بازای هر عدد طبیعی ‎$m$‎، می توان یک خم بیضوی پیدا کرد که رتبه آن برابر ‎$m$‎ باشد. متاسفانه دلایل کافی برای اثبات این حدس وجود ندارد‎. ‎ این رساله شامل چهار فصل می باشد. فصل اول را به مفاهیم و مقدمات اولیه از خم های بیضوی اختصاص داده ایم. ‎‎ ‎‏در فصل دوم خانواده ای از خم های بیضوی برآمده از چهارضلعی های براگما گوپتا را ساخته و به بررسی چگونگی افزایش رتبه این خم ها پرداخته ایم. ‎یک‎‎ چهارضلعی براگما گوپتا ‎‎ یک چهار ضلعی محاطی می باشد که همه ضلع ها، قطرها و مساحتش مقادیری صحیح می باشند. در این فصل ما مفهوم براگما را که توسط ساستری ‎‎‎ با استفاده از خم های بیضوی معرفی شده است توصیف می کنیم. از چهار ضلعی براگما گوپتا استفاده می کرده و خانواده ای نامتناهی از خم های بیضوی با گروه تاب ‎‎ $mathbb z/2mathbb z imes mathbb z/2mathbb ‎z$‎‎ می سازیم به طوری که دارای رتبه های بالای حداقل 4و5و6 باشد. سپس با تخصیص سازی مثال هایی از این خم های بیضوی با رتبه 9 را مثال می زنیم.‎در فصل سوم به روش حل معادلات دیوفانتی ‎‎‎$ ‎ ‎x_1^‎i‎+x_2^i+x_3^i+x_4^i=2y_1^i+2y_2^i ‎ $‎‎‎ ‎‏برای وقتی که ‎$ ‎i=3,6‎ $‎می پردازیم. در این فصل با استفاده از نظریه خم های بیضوی روشی برای حل این دسته از معادلات دیوفانتی ارائه می دهیم.‎ در فصل چهارم ابتدا رابطه‎ میان چهارضلعی های محاطی و خم بیضوی را بیان می کنیم و در ادامه، سپس به بررسی خواص جبری خم بیضوی تولید شده به این چهارضلعی ها می پردازیم و در نهایت دو حالت خاص از این خم ها یعنی خم های عدد همنهشت و خم های بیضوی با گروه تاب ‎$ z/2z $‎ را در نظرگرفته و نتایحی را درمورد آنها بیان می کنیم.

فرض کنید r حلقه جابه جایی و m یک r- مدول باشد. هدف این پایان نامه ایجاد تجزیه موثر برا یک زیرمدول سره n از m به صورت اشتراک زیرمدول های پریمال می باشد.وجود یک تجزیه متعارف پریمال n را نشان می دهیم که در آن اشتراک روی مولفه های ایزوله از n که از هم جدا هستند. ثابت می کنیم زیرمدول برابر اشتراک زیرمدول های p-پریمال است که p یک ایده آل اول وابسته می باشد اگر وتنها اگر، عناصر r یه جز p ایده آل اول وابسته n اول باشند. بعلاوه نشان می دهیم که m یک r- مدول حسابی است اگر وتنها اگر هر زیرمدول اول m تحویل ناپذیر باشد. بالاخره از نقطه نظر تجزیه متعلرف پریمال، تجزیه غیرزاید یا مولفه های ماکسیمال را شناسایی می کنیم و برای تجزیه منحصربه فرد n، یک اشتراک غیر زاید مولفه های منفرد را ارائه خواهیم نمود.

به وضوح اگر ψ و χ سرشت هایی از گروه g باشند، آنگاه χ + ψ نیز سرشتی از گروه g است. همچنین با تعریف (χψ)(g) = χ(g)ψ(g) می توان یک تابع کلاسی جدید به دست آور، اما اثبات این که χψ سرشتی از گروه g است مقداری مشکل و غیربدیهی است. از مباحث مقدماتی در نظریه سرش ها می دانیم که می توان سرشت ها را به صورت ترکیبی خطی از سرشت های تحول ناپذیر نوشت. حال چون χψ سرشتی از گروه g است، پس می توان آن را به صورت ترکیب خطی از سرشت های تحول ناپذیر گروه g نوشت. فرض کنیم η(χ, ψ) تعداد سازنده های تحوا ناپذیر مجزای χψ باشد، در این پایان نامه قصد ما بررسی رابطه بین η(χ, ψ) و سرشت های ψ وχ می باشد که برای این منظور، مقداری بحث در مورد سرشت ها و حاصل ضرب های آن انجام داده این و سپس یه این موضوع پرداخته ایم.

عدد هم نهشت عددی ست که مساحت مثلثی قائمه با اضلاع گویاست. در این پایان نامه در خصوص یافتن راهکارهایی جدید برای پیداکردن اعداد هم نهشت بحث می شود. رتبه ی خم بیضوی معیاری ست که از آن در تشخیص اعداد هم نهشت استفاده می کنیم.

مجموعه s از زیرمجموعه r^2 را مجموعه ای از نقاط با فواصل گویا گوئیم هرگاه مختصات نقاط و فاصله هر دو نقطه آن گویا باشند. به عنوان مثال s={(3,5),(6,9),(9,13)} یک مجموعه از نقاط با فواصل گویاست زیرا دارای مختصات گویا بوده و فاصله هر جفت از آنها گویا می باشد. در این پایان نامه روشی برای پیدا کردن بی نهایت مجموعه های سه نقطه ای و یا چهار نقطه ای با مختصات گویا و با فواصل گویا روی مقاطع مخروطی axy+bx+cy+d=0 و xy=1 ارائه می شود.

برای ساختن خانواده هایی از خم های بیضوی با رتبه عمومی بالا، از معادلات دیوفانتی خاص، برخی مفاهیم جبری و هندسی استفاده کرده، و وجود موارد زیر را نشان می دهیم: (i) نامتناهی خم بیضوی روی u^6+v^6+p^6+q^6=2(r^6+s^6) از رتبه حداقل پنج، با زیرگروه تاب بدیهی، که توسط یک خم بیضوی از رتبه حداقل سه روی q(p,q,r,s)‎ پارامتری می شود؛ (ii) خم های موردل e_k:y^2=x^3+k با گروه های تاب غیربدیهی از رتبه عمومی دو به عنوان پیچش درجه دو e_1، و رتبه عمومی حداقل سه به عنوان پیچش های درجه سه e_1؛ (iii) نامتناهی خم بیضوی از رتبه حداقل دو با گروه تاب z/8z، که توسط نقاط یک خم بیضوی از رتبه حداقل یک پارامتری می شود، به همراه مثال هایی خاص از رتبه پنج؛ (iv) نامتناهی خم بیضوی از رتبه حداقل یک با گروه تاب z/2z*z/8z، به همراه مثال هایی خاص با رتبه سه با در نظر گرفتن حدس زوجیت. به علاوه، با استفاده از نظریه خم های بیضوی، نشان می دهیم که معادله دیوفانتی a^5+b^3=c^5+d^3 تعداد نامتناهی جواب اولیه دارد.