در این نوشتار به بررسی نظریه دیفرانسیل پذیری در فضاهای خطی فشرده تولید شده با ابزار و مفاهیم رسته ای مطرح شده خواهیم پرداخت . معرفی رسته هایی خاص و رسته ؟k زیربنای کارماست ، یک -?k فضا، فضایی توپولوژیکی است که حامل توپولوژی نهای از خانواده fiهاست و fiها نگاشت های پیوسته از ki به x می باشند که kiها فشرده و هاسدروف هستند. بعلاوه ?k زیر رسته هم بازتاب صلب top است . در فصل اول و دوم رسته ?c و c??c و برخی خواص مفید آنها را مطرح می کنیم و خواص بیشتری از ?k و فضای نگاشتها را بررسی خواهیم کرد. در فصل سوم e را یک -?k فضای برداری روی میدان r در نظر می گیریم که جمع برداری و ضرب اسکالر دو نگاشت ?k هستند؟ چنین فضاهایی بهمراه نگاشتهای خطی و پیوسته بین آنها رسته ??k را تشکیل می دهند، اساس کار مار بر رسته c??k می باشد، که آن را زیر رسته فضاهای نشانده شده بسته از ??k می نامیم، یعنی فضاهایی مانند e که @e: e? ? با ضابطه @e (x) (f)f(x) یک نشاندن بسته است . با طرح قضیه اساسی در رسته c??k که معرفی یکریختی طبیعی ed با معکوس av است ، در واقع اساس کار پایه ریزی می شود. در فصل چهارم تعریف انتگرال منحنی p: a?u?e (e یک -c??k فضا و a یک حوزه اصلی است .) نقشی محوری در نظریه دیفرانسیل پذیری جدید ایفا می کند. منحنی p یک مسیر است اگر منحنی ؟ وجود داشته باشد که در اتحاد ?ab ? (t)dtp(b) - p (a) صدق کند. نگاشت f: u?f یک -?1k نگاشت است ، اگر برای هر مسیر p، -?k نگاشت df:u?[e, f] وجود داشته باشد که در تساوی ?abdf (p(t)). ? (t)dtf (p(b)) - f (p (a)) صدق کند. در خاتمه مجموعه همه توابع -r بار دیفرانسیل پذیر را به ساختاری مجهز می کنیم که آن مجموعه در رسته ما قرار گیرد و یا به عبارتی یک -c??k فضا شود.

در این رساله قصد داریم مفهوم تمامریختی را روی فضاهای بدون نرم، به روش [6]، بررسی کنیم. اهمیت مسئله، علاوه بر بدون نرم بودن فضاها، در این است که دامنه های نگاشتهای مورد نظر، می توانند مجموعه هایی غیرمحدب و حتی با درون تهی باشند. مطالب فوق، به طریق [7]، در آخرین بخش شرح داده شده است . ابتدا به بیان مطالبی می پردازیم که آگاهی از آنها برای شروع کار ضروری است . سپس رسته های c و c c و خواص آنها را بررسی می کنیم. در اینجا، یک فضا، یک مجموعه x همراه با نگاشت است که به هر نقطه x x، خانواده ای از پالایه ها، ، را نسبت می دهد به گونه ای که فراپالایه اصلی در x، در این خانواده قرار می گیرد. اگر عضوی از باشد، آن را بصورت نشان می دهیم. نگاشت f:x--->y را یک نگاشت (نکاشت پیوسته) گوییم، هرگاه همگرایی پالایه ها را حفظ کند، در x، --->f(x) در y را ایجاب کند. حال اگر x یک فضای برداری روی c و همچنین یک فضا باشد، به گونه ای که جمع آوری برداری و ضرب اسکالر، هر دو نگاشتهایی پیوسته باشند، x یک فضا نامیده می شود و هر نگاشت کلی پیوسته، یک نگاشت در نظر گرفته می شود. قسمت اصلی کار بر روی فضاهای به طور بسته نشانده شده می باشد، یعنی فضاهایی همچون e، که نگاشت متعارف @e (x)(l)l(x), @e: e--->e** یک نشانده بسته است . کارآیی این فضاها در منکف و کامل بودن آنهاست . برای تعریف تمتامریختی، نیاز به یک نظریه حساب دیفرانسیل و انتگرال داریم که براساس [10]، در فصل سه به شرح آن می پردازیم. اما برخلاف آن که از روی چند اصل موضوع، انتگرال را تعریف می کند، در اینجا با توجه به [4] وجود یک یکریختی طبیعی را در فصل دو، اثبات می کنیم و سپس در فصل سه با معرفی حوزه های جدیدی به نام حوزه های مماسی نظریه حساب دیفرانسیل و انتگرال، روی این حوزه ها ارائه می شود. در فصل چهار، مفهوم تمامریختی را بیان کرده و نشان می دهیم در حالت کلاسیک ، برقراری این مفهوم با صادق بودن معادلات کوشی - ریمان معادل است . سپس برای حالتهای خاصی که دامنه های نگاشتها، زیر مجموعه هایی از و یا باشند، با بیان قضیه هایی همچون قضیه انتگرال کوشی، وجود بسط تیلور و... اثبات می شود که ، یعنی مانند حالت کلاسیک هر نگاشت تمامریخت ، از هر مرتبه تمامریخت است . در بخش بعدی همین حکم برای فضاهای باز محدب وار بررسی می شود. سرانجام به معرفی دسته ای از حوزه های مماسی می پردازیم که درون آن تهی است . ضمنا برای مراجعه آسان، صورت بعضی از قضیه های مهم که مورد استفاده قرار خواهند گرفت را، در بخش پیوست بیان می کنیم.

در این رساله نظریه دیفرانسیل پذیری روی فضاهای بدون نرم را، به روشی که در [8] آمده است ، بررسی می کنیم و توابعی مدنظر قرار می گیرند که لزومی ندارد حوضه تعریف آنها باز باشد و حتی ممکن است دامنه ای غیر محدب با درون تهی داشته باشند. در ابتدا به معرفی رسته هایی خاص و مفاهیمی در این زمینه می پردازیم که شناخت آنها برای شروع کار ضروری است . سپس رسته های c و c c را بترتیب در فصل های اول و دوم معرفی می کنیم. در این مبحث ، منظور از یک فضای c یک مجموعا x با خانواده ای از پالایه های همگراست بطوریکه فراپالایه نقطقه x x به x همگرا باشد. نیز یک نگاشت c به مفهوم یک تابع پیوسته f از یک c - فضای x به یک c - فضای y است ، یعنی، اگر x x و یک پالایه همگرا به x باشد، آنگاه پالایه f() در y به f(x) متقارب شود. حال بفرض e یک فضای برداری روی میدان c و یک فضای c باشد بقسمی که جمع برداری و ضرب اسکالر دو نگاشت c باشد. چنین فضاهای، همراه با توابع خطی پیوسته بین آنها، رسته c را تشکیل می دهند. اساس کار ما بر c، زیر رسته فضاهای نشانده شده بسته از c است ، یعنی فضاهایی مانند e که نگاشت متعارف @e: e --->e**, @e(x)(f)f(x) یک نشان بسته باشد. در فصل سوم یک نگاشت تحلیلی، مطابق [8]، بعنوان نگاشتی که بطور موضعی دارای نمایشی به صورت سری توانی است ، روی یک زیر مجموعه باز c، وقتی مقادیریش را در یک فضای c c اختیار می کند، معرفی می شود. اهمیت مساله در تعریف یک یکریختی طبیعی است ، که در فصل چهارم به آن می پردازیم، و توسط آن کلیه خواص حساب دیفرانسیل و انتگرال از میدان اعداد مختلط c به فضای مورد نظر منتقل می شود. در فصل آخر حوضه های جدیدی با عنوان "بطور تحلیلی مماسی" معرفی می شوند که به عنوان حوضه هایی برای نظریه حساب دیفرانسیل و انتگرال کاربرد دارند و تحلیلی بودن روی این حوضه ها تعمیم داده می شود. در این فصل به روش مستقیم ثابت خواهیم کرد مه ترکیب دو نگاشت به طور تحلیلی دیفرانسیل پذیر، یک نگاشت بطور تحلیلی دیفانسیل پذیر است . همچنین ملاحظه خواهید کرد که هر نگاشت دیفرانسیل پذیر بر یک زیر مجموعه باز از c، بینهایت بار دیفرانسیل پذیر مختلط می باشد.

در نوشتن این رساله فرض شده است که خواننده با مفاهیم رسته و تابعگون آشناست . بقیه مفاهیم مورد نیاز و همچنین رسته ها و تابعگون های خاصی که مورد استفاده قرار گرفته اند در سه فصل اول معرفی شده اند. در فصل صفر مفاهیم و قضایای مورد نیاز از 15 فصل اول از [8] با ذکر برهانها آورده شده است . فصل 1 به معرفی مفاهیم پالایه، رسته cc و خواص آن، رسته lcc، رسته clcc و قضایایی پیرامون آنها می پردازد. معمولا برهان قضایای مذکور بیان شده است به جز در دو مورد که آوردن برهان برای آنها از حوصله این بحث خارج بوده است . در فصل 2، نظریه مشتقگیری روی دامنه های مماسی بر مبنای تعریف جدیدی از مشتق، بر حسب انتگرال منحنیها (-cc نگاشتهای اسگالر به بردار)، گسترش یافته است . باید توجه داشت که دامنه های مماسی ممکن است غیرمحدب و دارای درون تهی باشند. مطالب این فصل برگرفته از [7] است و قضایایی از این مقاله که در فصول بعدی کاربرد داشته اند با ذکر برهانها بیان شده اند. فصول 3 و 4 به مقاله اصلی اختصاص دارد. در فصل 3، ابتدا رسته های کمکی jcc, jlcc و مفاهیم -jcc زیر فضا و شبه گوی، با مثالهایی در این زمینه، معرفی می شوند و سپس قضیه نقطه ثابت پارامتری شده به عنوان ابزاری کلی برای برهانهای وجودی در جایگاه نرم ناپذیر بیان می شود و بالاخره در آخر این فصل با استفاده از قضیه نقطه ثابت . قضیه وجود-یکتایی برای معادلات دیفرانسیل اثبات می شود. در فصل 4، با استفاده از ابزارهای آماده شده در فصل 3، قضایای تابع معکوس و تابع ضمنی در جایگاه نرم ناپذیر تعمیم می یابند، بطوریکه در فضاهای باناخ، به عنوان حالت خاص ، به شکل کلاسیک باقی می مانند.