مطالب مطرح شده در این پایان نامه در مورد تولید گروههای متناهی است و در واقع در پی یافتن جوابی برای سوال زیر می باشد. فرض کنیم m یک زیر گروه ماکسیمال، از گروه متناهی و ساده g باشد و همچنین h نیز یک زیر گروه ماکسیمال از m باشد، آیا عضوی مانند g از g وجود دارد که: g<h, g> با توجه به مطالبی که مورد بحث و بررسی قرار خواهیم داد، به این نتیجه خواهیم رسید که جواب این سوال مثبت است . اکنون خلاصه ای از مراحل پایان نامه را می آوریم. برای اینکه بتوان لم ها و قضایائی را براحتی در مورد h, m, g که بدون در نظر گرفتن شرائط فوق بر روی آنها اثبات کرد، ابتدا دو تعریف اساسی سه تائی و -w سه تائی (سه تائی ویلانت) را خواهیم نوشت ، سپس لم های مورد نیاز را با استفاده از این تعاریف اثبات می کنیم و در ادامه با استفاده از قضایائی در مورد -p سیلو زیرگروها، قضایای ویلانت ، قضایای مربوط به عمل گروهها، مطالب مربوط به مکمل های فربنیوس و قضیه شور - زاسن هوس سه قضلیه اصلی این پایان نامه اثبات خواهد شد. در آخر با استفاده از برهان خلف که در آن خواهیم داشت : g یک گروه ساده و متناهی بوده و فرض خواهیم کرد جواب سوال مطرح شده منفی باشد و نیز به ازای هر g g خواهیم داشت : <h, g> mh که در ادامه اثبات خواهیم کرد که h, hm1 یک مکمل فربنیوس در g می باشد، آنگاه بوسیله یکی از قضایای فربنیوس به این نتیجه خواهیم رسید که g ساده نیست ، و این با فرض اولیه در تناقض می باشد و به این شکل به جواب سوال دست خواهیم یافت .

در این پایان نامه ابتدا نشان می دهیم که هر حلقه با بعد کرل در شرط a.c.c برای ایده آلهای نیمه اولش صدق می کند سپس نشان می دهیم که این نتیجه در حالت کلی برای مدولها درست نمی باشد. در حالت خاص فرض می کنیم حلقه r اولین جبر وایل روی یک میدان با مشخصه صفر باشد در اینصورت -r مدولی آرتینی می سازیم که در شرط a.c.c برای زیرمدولهای اولش صدق نمی کند. بنابراین شرایطی برای حلقه r تعیین می کنیم تا این نتیجه برای مدولها نیز درست باشد. کار را در دو قسمت دنبال می کنیم در قسمت اول شرایطی را تعیین می کنیم که تحت آن شرایط یک -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولها اولش صدق کند که در نهایت به قضیه زیر می رسیم: اگر r یک pi حلقه باشد در اینصورت هر -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولهای اولش صدق می کند. در قسمت دوم به دنبال شرایطی هستیم که تحت آن شرایط یک -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولهای نیمه اولش صدق کند که در نهایت به قضیه زیر می رسیم: اگر r یک pi حلقه نوتری چپ باشد آنگاه هر -r مدول با بعد کرل در شرط a.c.c برای زیرمدولهای نیمه اولش صدق می کند.

در این رساله حلقه ها جابجایی و یکدار فرض شده اند و مدولها نیز یکایی هستند. گیریم r یک حلقه و m یک -r مدول باشد، زیر مدول محض n از -r مدول m را، اول یا(-p اول)گوئیم هرگاه برای هر r از r و برای هر m ازm که داشته باشیم: یا :mp گیریم r یک حلقه باشد، بعد کرول کلاسیک حلقه (cl.k.dimr)r را بصورت زیر تعریف میکنیم. گوئیم cl.k.dimrn m ، اگر زنجیره ای صعودی بطول n+1 ، از ایده آلهای اول حلقه r بصورت وجود داشته باشد که آن تمام ایده آلهای اول مجزا می باشند و علاوه بر این هیچ زنجیره دیگری با طول بیشتر از n+1 با همین خواص وجود نداشته باشد، در این حالت بعد کرول کلاسیک حلقه r ، متناهی است . اگر هیچ زنجیره ای از ایده آلهای اول حلقه r بصورت بالا وجود نداشته باشد، بعد کرول کلاسیک حلقه r ، نامتناهی است . گیریم m یک r - مدول باشد، در اینصورت بعد کرول کلاسیک آن بصورت بعد کرول کلاسیک حلقه r/o:mr/annrm تعریف می شود. مسئله اصلی مورد بحث در این رساله، بعد کرول کلاسیک ، -r مدول m است که برای مشخص نمودن آن به مطالبی پیرامون مفهوم زیر مدولهای اول ممتاز (distinguished) و قضایایی در مورد آن در فصل دوم پرداخته و سپس در فصل سوم به مشخص نمودن زیر مدولهای اول ممتاز، مدولهای بحصوصی می پردازیم. در فصل چهارم بعد -r مدول m را تعریف می کنیم و آن را با (dim m) نمایش می دهیم، این تعریف براساس طول زنجیره هایی از زیرمدولهای اول ممتاز، -r مدول m است سپس ارتباط بین بعد کرول کلاسیک m و بعد m را مطرح می کنیم وثابت می کنیم که اگر یک -r مدول متناهیا تولید شده باشد، آنگاه dimm<cl.k.dimm . و همچنین ثابت میکنیم که اگر m یک -r مدول متناهیا تولید شده و متعلق به یکی از حالات زیر باشد، آنگاه: .dimmcl.k.dimm -1 m یک -r مدول ضربی ضعیف باشد. -2 m یک -r مدول کانتنت باشد، بطوریکه برای هر که در آن c تابع کانتنت است و -3 m یک -r مدول یکدست باشد. -4 m یک -r مدول سریال باشد.

رساله موجود براساس مقاله: weakly periodic rings with conditions on commutators به نگارش درآمده است . هدف از انتخاب این موضوع، معرفی دسته ای از حلقه های جابجائی است . در این رساله r یک حلقه با مرکز c در نظر گرفته شده است که n، مجموعه عناصر پوچتوان e,r مجموعه عناصر خود توان حلقه است . یک حلقه r را دوره ای می نامیم در صورتی که برای هر xer، اعداد صحیح مثبت n و m موجود باشند، بطوریکه xnxm یک عنصر x در حلقه r را عنصر توان حلقه می نامیم در صورتیکه x به اجتماع تعداد شما را از en (1<nez+) متعلق باشد. که این اجتماع را با p نمایش می دهیم. به ازای هر n>1، en را بصورت مجموعه {x e r; xnx} معرفی کرده و حلقه دوره ای ضعیف را بگونه زیر تعریف می کنیم: حلقه r دوره ای ضعیف است اگر هر عنصر r را بتوان بصورت حاصلجمعی از یک عنصر پوچتوان و یک عنصر حلقه نوشت . بعبارت دیگر: rn+p هدف اصلی در این رساله اثبات دو قضیه اساسی است که آنها را قضیه a و b نامیده و اثبات آنها را در فصل سوم آورده ایم. در فصل دوم و ابتدای فصل سوم لم های مقدماتی و چندین قضیه آورده ایم که به تنهائی ارزشمند هستند. برای مثال ثابت می کنیم هر حلقه دوره ای، دوره ای ضعیف است . در قضیه شکرون ثابت کرده ایم: اگر r حلقه دوره ای باشد، به ازای هر x e r، عدد صحیح مثبت kk(x) و چندجمله ای f()fx() با ضرایب صحیح موجودند، بطوریکه xkxk+1f(x). قضیه ای منسوب به herstein در فصل دوم رساله ثابت شده است که نشان می دهد اگر r یک حلقه دوره ای باشد بطوریکه تمامی عناصر پوچتوان آن مرکزی است ، آنگاه r جابجائی است . در فصل دوم، قضیه دیگری نیز ثابت شده است ، که منسوب به putcha andyaqub است . در طی آن حکم قضیه شکرون را به عنوان فرض در نظر می گیریم، بعلاوه فرض می کنیم: 1) حلقه r شرکت پذیر است . 2)عناصر پوچتوان حلقه r با یکدیگر جابجا می شوند.3)برای هر y e r، x، جابجاگر جمعی xy-yx[x,y] مرکزی است . و نتیجه می گیریم که r حلقه جابجائی است .

پایان نامه شامل یک مقدمه و سه فصل می باشد. در مقدمه، خلاصه ای از مطالب اساسی در مورد زیر مدولهای اول عنوان شده است . فصل اول شامل تعاریف و قضایای مقدماتی است . در فصل دوم به نقش فضاهای برداری در ساختار زیر مدولهای اول، شکلهای مختلف و نحوه ساختن آنها اشاره شده است . در فصل سوم به طور خاص روی اشتراک این نوع زیرمدولها بحث می کند و خواص آن ها را در حالتیکه مدولها متناهی مولد و ضربی و حلقه نوتری، ددکیند یا s.t.r.f هستند مورد بحث قرار می دهد. لازم به ذکر است که تمام این تحقیقات در حالتیکه مدول یکانی و حلقه جابجایی و یکدار است انجام شده است .