در سال ‎????‎ هنگامی که هادامارد ‎(hadamard)‎ سطوح غیر فشرده با انحنای ثابت منفی را در ‎${bbb r}^3$بررسی می کرد دریافت که ژئودزیها روی این سطوح را می توان از طریق کد کردن و ارایه دنباله ای از سمبولها نمایش داد. ایده وی توسط مورس ‎(morse)‎ و هدلاند ‎(hedlund)‎ ‎ ‎در ‎????‎ و ‎????‎ گسترش یافت. از آن زمان به بعد دینامیک سمبولیک به عنوان ابزار مهمی در مطالعه سیستمهایی با رفتار پیچیده و آشوبناک مورد استفاده قرار گرفت که شارهای ژئودزیکی روی منیفلدهای ریمانی با انحنای ثابت منفی کلاس مهمی از مثالهایی در این زمینه اند. در واقع داشتن کد، مطالعه سیستم را به مطالعه سیستم سمبولیک کاهش می دهد که در مورد اخیر اطلاعات فراوانی در دست است. کارهای این افراد با تکنیکها و سوالهای جدیدی توسط هاف ‎(hopf)‎، بووِن ‎(bowen)‎، سیریز ‎(series)‎، آدلر ‎(adler)‎، فلتو ‎(flatto)‎، گربینر ‎(grabiner)‎، لاگاریاز ‎(lagarias)‎، کاتوک ‎(s‎. ‎katok)‎، اوگارکوویچی ‎(ugarcovici)‎ و ... ادامه یافت.اگر چه کارهای قابل توجهی در این زمینه انجام گرفته است ولی هنوز سوالهای زیادی در خصوص ساده ترین سطوح ریمانی، مثل سطوح حاصل از عمل یک گروه روی دیسک پوانکاره یا نیم صفحه بالایی در حالتی که سطح حاصل فشرده یا غیرفشرده باشد، باقی مانده است. هدف ما در این پایان نامه دادن زمینه لازم و طرح بعضی از مسائل موجود می باشد. در فصل اول پایان نامه به بعضی از تعاریف و قضایای مقدماتی که در فصل های آتی استفاده می شود پرداخته ایم. این تعاریف در فصل های دیگر تکرار نشده است ولی در پیوست، راهنمای صفحات تعاریف موجود است. در فصل دوم دینامیک شارهای ژئودزیکی روی سطح حاصل از عمل گروه ‎$psl(2,bbb{z})$‎ روی نیم صفحه بالایی را بررسی می کنیم. سطح خارج قسمتی حاصل، سطح مدولی نامیده می شود و یکی از معروف ترین سطوح غیرفشرده با انحنای منفی است. این سطح شامل یک نقطه تکین، یک نقطه بیضوی و یک نقطهسهموی است. مورس روشی کلی برای کد کردن شارها روی سطوح مختلف بر اساس انتخاب مرزهای ناحیه اصلی سطح خارج قسمتی حاصل از عمل گروه روی صفحه هذلولوی به عنوان سطح مقطع معرفی کرد. بر این اساس، کاتوک و اوگارکوویچی با شمردن تعداد دفعاتی که یک ژئودزی جهتدار، تصاویر سطح مقطع را تحت تبدیلات گروه روی فضای پوششی قطع می کند، شرطی کافی برای کد شارهای ژئودزیکی ارایه دادند. به این صورت که اگر ‎$[...,‎, ‎n_{-1},‎, ‎n_0,‎, ‎n_1,‎, ... ‎]$‎ نمایش دنباله ای از اعداد صحیح ناصفر باشد که به ازای هر ‎$iin bbb{z}$‎، ‎$left|frac{1}{n_i}+frac{1}{n_{i+1}} ight|leq frac{1}{2}$‎، در آنصورت این دنباله کد یک ژئودزی روی سطح مدولی است‎. از آنجا که تقریبا همه ژئودزی ها سطح مقطع را بینهایت در زمان های گذشته و آینده قطع می کنند، این روش برای بدست آوردن کد شارها عملا غیر کاربردی است. ما در این فصل با ارایه تکنیکی جدید، ژئودزی ها را در فضای پارامتری در نظر گرفته و الگوریتمی برای کد کردن این شارها ارایه دادیم. با استفاده از این الگوریتم می توان زیر فضاهای ‎$k$-‎گاماز فضای کد شارهای ژئودزیکی روی سطح مدولی را یافت و به عنوان مثال در انتهای فصل دوم نشان می دهیم که اگر ‎$|n_i|>1$‎ آنگاه برایهر ‎$kgeq 2$‎، بزرگترین زیرفضای مارکوف ‎$k$-‎گام با بزرگترین زیرفضای مارکوف ‎$1$-‎گام یکسان است. گورویچ ‎(gurevich)‎ و کاتوک آنتروپی برخی از زیرفضاهای بسیار خاص ‎$1$-‎گام از شارهای ژئودزیکی را با استفاده از فرمولی که در مقالات ساوچنکو‎(savchenko)و پولیاکوف ‎(polyakov) ‎ که هر دو از دانشجویان گورویچ بودند محاسبه کردند ولی این فرمول که تنها فرمول موجود برای محاسبه آنتروپی شارها در حالت نامتناهی سمبول است، فقط برای حالتی قابل استفاده است که تعداد بلوک های غیرمجاز در فضای کدها متناهی بوده و طول آنها یک باشد. ولی همانطور که در فصل های ‎?‎ و ‎?‎ نشان می دهیم هنگامی که اعداد ‎?-‎، ‎?-‎، ‎?‎ و ‎?‎ در کد بکار رفته باشند آنگاه تعداد بلوک های حذف شده نامتناهی است. بنابراین در فصل سوم روشی جدید برای محاسبه فرمول آنتروپی شارهای ویژه روی نوعی از فضاهای مارکوف شمارا که تعمیمی از یک sft ?-‎گام به حالت نامتناهی سمبول است بدست می آوریم. مهمترین تکنیک شناخته شده برای محاسبه حدود آنتروپی همان روش پولیاکوف بود ولی این فرمول ما را قادر کرد که حدود آنتروپی سیستم های مهمی که تا به حال شناخته شده بوده است را ارتقا داده و به عنوان مثال در مثال های ‎?‎ و ‎?‎ از بخش دوم فصل ‎?‎ نشان می دهیم که وجود چهار عدد فوق الذکر در کد، آنتروپی را به صورت محسوسی بالا می برد.این تاثیر در بعد هاسدورف نقاط حدی گروه مدولی که رابطه تنگاتنگی با فضای کد ژئودزی ها دارد و متناظر با نقاط انتهایی ژئودزی هاست نیز دیده می شود. هنگامی که ژئودزی ها از سطح مدولی به فضای پوششی که همان نیم صفحه بالایی است بالا برده شوند، نقاط انتهایی ژئودزی ها متناظر با کسر مسلسل منفی با ضرایب کد ژئودزی است. در مراجعی که در فصل ‎?‎ آورده شده است روش هایی برای تخمین بعد هاسدورف کسرهای مسلسل مثبت موجود است. در این فصل روشی برای تخمین بعد هاسدورف کسرهای مسلسل منفی با ضرایب مثبت بدست می آوریم که متفاوت با روشهای قبلی است. در این فصل حدس تکسان ‎(texan)‎را برایکسرهای مسلسل منفی در بازه ‎$[0,frac{1}{2}]$‎ اثبات می نمائیم که برای کسرهای مسلسل مثبت نیز قابل استفاده است. در فصل ‎?‎ پایان نامه که بر اساس مقالاتی از آدلر، فلتو، بووِن و سیریز است، کد شارهای ژئودزیکی روی سطوح فشرده باانحنای منفی را بررسی کرده ایم. کد کردن شارهای ژئودزیکی روی سطوح فشرده با انحنای منفی هنگامی که دارای هیچ نقطه انشعابی نباشد توسط آدلر بررسی شده است. ما در فصل ‎?‎، با استفاده از نتایج بووِن و سیریز و تلفیق آن با تکنیک های آدلر قادر شدیم کد کردن را به حالت کلی تعمیم داده و مساله کد کردن شارهای ژئودزیکی روی سطوح فشرده باانحنای منفی را به طور کامل حل کنیم. علاوه بر آن روشی برای محاسبه دقیق آنتروپی توپولوژیکی این شارها و همچنین تخمینی برای محاسبه آنتروپی بر اساس نشانِ این سطوح داده شده است. در فصل ششم پس از بیان تعریف و خواص فشار توپولوژیکی کلاسیک، فشار توپولوژیکی ‎$psi$-‎القایی را در بخش سوم این فصل تعریف کرده و خواص آن را بررسی کردیم. این تعریف در اصل تغییر نیز صدق می کند. در قضیه ‎?.?‎ نشان دادیم که این تعریف از فشار، در نقاط بحرانی با فشار توپولوژیکی که توسط مالدین ‎(mauldin)‎ و اوربانسکی ‎(urbanski)‎ ‎ تعریف شد یکسان است. همچنین فشار ‎$psi$-‎القایی با تحدید به شرایط فشار گورویچ و آنتروپی ساوچنکو، این فرمول ها را نتیجه می دهد.در بخش آخر فصل ‎?‎ نیز تعریف آنتروپی شارهای ویژه را با استفاده از تعریف فشار ‎$psi$-‎القایی تعمیم دادیم. در این پایان نامه، برای برگردان فارسی اصطلاحات لاتین از واژه نامه ریاضی و آمار انجمن ریاضی ایران استفاده شده است.

روشهای‎‎‎‎‎ مختلفی برای محاسبه آنتروپی سیستم های دینامیکی غیر فشرده وجود دارد که در این پایان نامه از فشار توپولوژیکی برای محاسبه آنتروپی سیستم استفاده می کنیم. اولین بار ساوچنکو‎(savchenko)‎‎ در سال 1998 در [‎‎[17 به بررسی آنتروپی شارهای ویژه که روی فضاهای توپولوژیکی مارکوف ساخته می شوند پرداخت. تعریف مورد استفاده وی، حالت خاصی از فشار توپولوژیکی گورویچ (‎ ‎(‎gurevich است که روی گراف های با نامتناهی نماد تعریف شده است. فرض کنید ‎ aمجموعه ی الفبای شمارا باشد. گراف جهتدار g0 با رئوس ‎ a را درنظر بگیرید بطوریکه از هر رأس به رئوس دیگر یالی موجود باشد. فضای شیفت حاصل از گراف را ‎ tbsمی نامند. ‎‎اگر ‎|a| < ? ‎‎باشد، این فضا بخوبی شناخته شده است که آنرا شیفت کامل می نامند. در حالت نامتناهی سوالات بسیاری برای این فضا و زیرفضاهای آن باقی است. ساده ترین حالت، آن است که تعداد متناهی یال را حذف کنیم. پولیاکوف ‎(‎polyakov)‎‎‎ در سال 2001 در [14] براساس کارهای ساوچنکو، این حالت را مورد بررسی قرار داد و آنتروپی شارهای ویژه را روی این گونه فضاها بدست آورد. در این پایان نامه به محاسبه آنتروپی شار توپولوژی حالت خاص دیگری که به ما اجازه می دهد تعداد نامتناهی از یال ها را طبق شیوه ی ویژه ای حذف نماییم می پردازیم. به ‎طور خاص‎، حالتی که پولیاکوف مورد مطالعه قرار داد، نیز جزء این موارد خواهد بود. با توجه به اینکه فضاهای شیفت با نامتناهی الفبا و فشار توپولوژیکی و آنتروپی ماکسیمال، ساختار اصلی این بحث بشمار می رود، در فصل اول و دوم مفاهیم و قضایای مقدماتی آن را بیان خواهیم کرد. در فصل سوم، روش ارائه شده در [2]‎‎ برای محاسبه آنتروپی شار ویژه در حالتی که تعداد نامتناهی یال به شیوه ای خاص حذف می شود می پردازیم و پس از آن به بیان بعضی از کاربردها و مثالی از شارهای ویژه می پردازیم که آنتروپی آنها با روش ارایه شده در [‎‎ [2قابل بررسی است. سپس شرایطی را بیان می کنیم که تحت آنها آنتروپی ماکسیمال برای این شارها موجود باشد. در فصل چهارم، ثابت می کنیم روش محاسبه آنتروپی در [‎‎ [2فرمول پولیاکوف را بدست می دهد.

دو روش برای کد کردن شارهای ژئودزیکی روی سطح مدولی موجود است: کد هندسی و کد حسابی. در این پایان نامه ما تعمیمی از کد حسابی شارهای ژئودزیکی که(a,b)-بسط نامیده می شود و به نگاشت های دو پارامتری از کسرهای مسلسل مربوط می شود را توصیف می کنیم. اگر(a,b)-بسط دارای یک "دوگان" باشد، آنگاه فضای (a,b)-بسط شارهای ژئودزیکی روی سطح مدولی، یک شیفت سافیک می باشد.