یکی از مهمترین ابزارها درمهندسی و علوم پایه استفاده ‏ازدستگاه ‏معادلات می باشد. از آنجا که در عمل چند یا تمامی پارامترهای دستگاه ‏توسط کمیت های فازی بیان می شوند، بررسی وتوسعه ی روش های تئوری و عددی برای حل دستگاه معادلات خطی فازی از اهمیت بالایی برخوردار است. برای اولین بار چنین دستگاه هایی توسط باکلی مورد مطالعه قرارگرفت. پس از آن فریدمن یک مدل اساسی را برای حل آن ارائه داد. هدف اصلی دراین پایان نامه بررسی و حل دستگاه ‏های معادلات خطی فازی از طریق غیرفازی کردن آن و استفاده ‏از روش های عادی برای حل دستگاه ‏جدید می باشد. ابتدا دستگاه هایی که دارای ماتریس ضرائب معمولی بوده ‏و برد‏ار مجهول و برد‏ار سمت راست متشکل از اعداد ‏فازی پارامتری می باشند، درنظرگرفته می شوند. با استفاده ‏از روش های عادی رایج نظیر روش های تکراری ژاکوبی، گاوس-سایدل ، ریچاردسون ، sor ‏، aor ‏و jor دستگاه غیرفازی شده را حل نموده و با توجه به مثبت بودن یا نبودن ماتریس معکوس، دو نوع جواب ضعیف و قوی را برای دستگاه خطی فازی تعریف می کنیم. دستگاه هایی با ماتریس ضرائب معمولی همراه با بردار سمت راست و بردار مجهول متشکل از اعداد ‏فازیlr را با استفاده ‏از توابع مرتب کننده ‏فازی حل می کنیم. د‏رحقیقت با تبدیل دستگاه ‏به یک مسأله بهینه سازی معمولی، د‏رصورت صفر بودن مقدار بهینه مسأله، جواب قوی دستگاه ‏را محاسبه می کنیم در غیر این صورت به محاسبه جواب تقریبی می پرد‏ازیم. تحقیق بر تأثیراختلال د‏رپارامترهای دستگاه از جمله موضوعات د‏یگری است که د‏رفصل سوم د‏ر سه حالت آن را مورد بررسی قرار می دهیم. در حالت اول اختلال د‏ر برد‏ار سمت راست، در حالت د‏وم اختلال در ماتریس ضرائب و د‏ر حالت سوم اختلال همزمان ماتریس ضرائب و بردار سمت راست را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل چهارم دستگاه خطی ای که ماتریس ضرائب وبردارسمت راست آن هردو فازی باشند را مورد مطالعه قرار می دهیم.با استفاده ‏از روش های عادی رایج نظیر روش های تکراری ژاکوبی، گاوس-سایدل ، ریچاردسون ، sor ‏، aor ‏و jor دستگاه غیرفازی شده را حل نموده و دو نوع جواب ضعیف و قوی را برای دستگاه خطی فازی تعریف می کنیم.

از آنجا که بسیاری از پدیده های فیزیکی قابل مدل کردن توسط معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری هستند، در سال های اخیر دانشمندان علوم پایه و مهندسی توجه زیادی به حسابان کسری داشته اند. معمولاً در مواجهه با بسیاری از معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری، یافتن یک حل تحلیلی و دقیق کار ساده ای نیست و اگر این معادلات شامل جملات غیر خطی نیز باشند، یافتن جواب دقیق برای آن ها چه بسا غیر ممکن باشد. از این رو روش های زیادی وجود دارد که جواب معادلات دیفرانسیل را تقریب می زنند و حتی در برخی موارد به جواب دقیق مسئله می رسند. در این تحقیق از روش های گوناگونی برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری استفاده شده است. همچنین تلاش شده است تا با ترکیب این روش ها، روش های نو و کاراتری را برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری بسازیم. همان گونه که خواهیم دید، این روش های ترکیبی دارای دقت بالاتری هستند و حتی پیاده سازی آن ها برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری ساده تر می باشد. همچنین سعی شده است تا با ساخت سری های از مرتبه کسری، روش های عددی را برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری پیاده سازی کنیم و خواهیم دید که روش های عددی همچون اویلر و تیلور را دقیقاً مشابه با حالت های کلاسیک آن ها می توان برای حل معادلات دیفرانسیل از مرتبه کسری به کار برد.

در این پایان نامه، ابتدا جبر ماکس-پلاس و مسئله ی حل دستگاه های معادلات خطی روی آن را مرور می کنیم. سپس روش هایی کارا برای پیاده سازی عملیات پایه ای برداری و ماتریسی روی جبر ماکس-پلاس معرفی می شود. روش ها به گونه ای طراحی شده اند که با برنامه نویسی ستونی، میزانِ انتقال داده در سطوح مختلف حافظه ی کامپیوتر در ‎$mathtt{matlab2011}$‎ کاهش یابد. سپس این روش ها در الگوریتمی برای پیدا کردن جواب اصلی معادله ی ماتریسی سیلوستر روی جبر ماکس-پلاس به کار گرفته می شوند. این الگوریتم پیچیدگی محاسباتی یافتن جواب اصلی را از مرتبه ی ‎?‎ بر حسب اندازه ی ماتریس به مرتبه ی ‎?‎ کاهش می دهد.

یکی از روش های حل معادلات دیفرانسیل استفاده از تبدیلات انتگرالی می باشد.در این پایان نامه، ابتدا به یادآوری برخی از تبدیلات انتگرالی می پردازیم.در ادامه تبدیل جدیدی به نام تبدیل الزاکی را معرفی می نماییم و کاربردهای این تبدیل انتگرالی را در حل معادلات دیفرانسیل معمولی ، جزیی و سیستم این معادلات بررسی می کنیم. از آنجا که تبدیل الزاکی به تنهایی برای حل معادلات دیفرانسل غیرخطی کارآمد نیست به دنبال راهکاری بودیم تابتوانیم این معادلات را به روش بهتری حل کنیم بدین منظور در پایان بعد از یادآوری روش هموتوپی، ترکیب این روش را با تبدیل الزاکی مطرح می کنیم و از این روش برای حل دو نوع معادله دیفرانسیل جزیی غیرخطی پرکاربرد یعنی معادله برگر و معادله کورتوگ دو-ریس(کا دی وی)استفاده می کنیم. این روش نسبت به روش تجزیه آدومیان هم محاسبات را کاهش می دهد هم جواب دقیق را نتیجه می دهد.

‏معادلات‎ دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاربرد های مهمی در زمینه های مختلف علوم و مهندسی مانند مکانیک سیالات‏، ترمودینامیک‏، انتقال گرما و فیزیک دارند. این معادلات اغلب غیرخطی هستند و یافتن جواب تحلیلی آن ها دشوار و در بعضی از موارد غیرممکن است‏ به همین دلیل در سال های اخیر تلاش های گسترده ای به منظور توسعه روش های تحلیلی و عددی برای حل این معادلات صورت گرفته است. در این پایان نامه ابتدا به معرفی معادله ساین گوردن به عنوان یک معادله ی غیرخطی و سالیتونی پرداخته سپس شرح مختصری از تاریخچه و پیدایش معادله را ذکر می کنیم. هم چنین دسته ای از جواب های این معادله را که جواب سالیتونی نام دارند‏، ‏بررسی می کنیم. در چند فصل از این پایان نامه به مطالعه ی این معادله و مقایسه ی بین جواب های بدست آمده برای آن با استفاده از چند روش تحلیلی مانند تداخلی هموتوپی‏، تحلیلی هموتوپی‏، تکرار تغییراتی‏، تجزیه آدومیان‏، تبدیل الزاکی هموتوپی و هموتوپی مجانبی بهینه پرداختیم. در پایان به روش های تفاضلات متناهی پرداخته و با استفاده از دو روش ftcs و ctcs به بررسی و یافتن جواب های عددی ‏معادله می پردازیم.

‏در سال های اخیر حسابگان کسری و کاربردهای آن در فرآیند های فیزیکی مورد توجه قرار گرفته است. نظر به کاربرد جدید این مباحث در مسایل کنترل بهینه‏، در این پایان نامه روش هایی برای حل دسته ای از مسایل کنترل بهینه ی متناهی و نامتناهی که توسط یک سیستم بر حسب مشتق کسری هدایت می شوند‏، ارایه و بررسی شده اند. برای این دسته مسایل در افق متناهی‏، ابتدا ماتریس های عملیاتی حاصل از به کارگیری چند جمله ای های متعامد لژاندر و چبیشف را معرفی و محاسبه می کنیم. سپس‏ تقریب های لازم توسط این چند جمله ای ها‏ انجام می گیرد. درنهایت مساله به یک سیستم از معادلات جبری تبدیل می شود که با حل این سیستم جواب مساله ی اصلی حاصل می شود. هم چنین برای حل مساله در حالت نامتناهی از ماتریس عملیاتی لاگر و تقریب های لازم توسط این چند جمله ای ها استفاده شده است. علاوه بر اثبات همگرایی روش‏، مثال های عددی مختلفی برای درجات متفاوت کسری و چند جمله ای های تقریب کننده ارایه گردیده است. نتایج حاصل در مقایسه با یکدیگر و هم چنین با نتایج حاصل از اصل بیشینه ی پونتریاگین‏، نشان دهنده ی صحت و دقت عمل روش های ارایه شده است.

در این پایان نامه ابتدا به معرفی دیویدها و رابطه ی ترتیب کانونی می پردازیم. سپس، دو معادله ی ماتریسی از نوع نقطه ثابت را در دیویدهای کامل جابه جایی پذیر حل می کنیم. هم چنین جواب این دو معادله را با استفاده از رابطه ی ترتیب کانونی با یکدیگر مقایسه می کنیم. در ادامه حالت های خاصی که در آن ها جواب این دو معادله نیز با هم برابر است را بیان می کنیم. هم چنین الگوریتمی برای یافتن کوچک ترین جواب یکی ازمعادلات ارائه می کنیم و نشان میدهیم که این الگوریتم پیچیدگی محاسباتی یافتن کوچک ترین جواب را از مرتبه ی ? برحسب اندازه ی ماتریس به مرتبه ی ? کاهش می دهد. در پایان کاربردی از یافتن کوچک ترین جواب این معادله در یافتن کوتاه ترین مسیرهای بین رأس ها در ضرب دکارتی دو گراف ارائه میشود.

در این پایان نامه ابتدا تاریخچه ی الگوریتم گرم-اشمیت را مرور می کنیم. نسخه های کلاسیک، اصلاح شده و اصلاح شده ی ستونی الگوریتم را بازخوانی می کنیم. سپس کاربرد آن ها در مساله ی کمترین مربعات خطی و تجزیه ی qrمطالعه خواهیم کرد. مساله ی تعیین وضعیت و فقدان تعامد مسائلی هستند که سپس بررسی خواهند شد. ارتباط الگوریتم گرم-اشمیت با منعکس کننده های هاوسهولدر را نیز بیان خواهیم کرد. نهایتاً کاربرد الگوریتم های گرم-اشمیت در روشهای زیر فضای کریلوف و به طور دقیق تر درالگوریتم آرنولدی مطالعه خواهند شد. در هر مورد کد matlab الگوریتم ها را نیز ارائه خواهیم کرد.

در این پایان نامه ابتدا به تاریخچه معادله شرودینگر و کاربرد و ویژگی های آن می پردازیم و سپس قضایا و تعاریف روش سینک را بیان می کنیم. پس از آن روش های سینک هم محلی و سینک گلرکین را بیان کرده و به بررسی حل معادلات شرودینگر با این روش ها می پردازیم. این روش ها معادلات شرودینگری که از نوع مشتقات جزئی باشند را به یک دستگاه جبری تبدیل می کنند. حل این دستگاه که به صورت چند معادله و چند مجهولی می باشد به آسانی امکان پذیر نیست و برای این منظور از نرم افزارها از جمله نرم افزارهای متلب و میپل استفاده می نماییم. در پایان به مطالعه جواب های این معادلات و مقایسه آنها خواهیم پرداخت.

در این پایان نامه روش عملیاتی آدومیان-تاو را به کمک تقریب پده برای حل عددی معادلات انتگرالی-دیفرانسیلی فردهلم غیرخطی تعمیم می دهیم. برای این منظور از دو ماتریس عملیاتی ساده کمک می گیریم تا جواب معادله ی مورد نظر را تعیین کنیم و برای اصلاح دقت جواب از تقریب پده کمک می گیریم. و یک روش تقریب تحلیلی برای حل معادلات انتگرالی-دیفرانسیلی با استفاده از روش تحلیلی هموتوپی و روش هموتوپی-پده ارایه داده ایم که پارامتر تقریب ?برای ما یک روش ساده ای را برای تنظیم و کنترل ناحیه همگرایی حل معادله بوجود می آورد. در نهایت کارایی روش های ارائه شده را، به کمک مثال های عددی متعدد بررسی می کنیم.

در این پایان نامه ابتدا مفاهیم پایه ای نظریه ی مشبکه، نظریه ی مانده دارسازی و جبر بول را مرور می کنیم. سپس معادله ی ماتریسی سیلوستر تعمیم یافت را مورد بررسی قرار داده و یک شرط لازم و کافی برای حل پذیری آن را بیان می کنیم. همچنین با استفاده از مفاهیم و ابزاری از قبیل ضرب کرونیکر دو ماتریس و عملگر بردار ی سازی، سه روش متفاوت برای یافتن بزرگترین جواب، در صورت وجود، ارایه می دهیم و پیچیدگی محاسباتی آن ها را با هم مقایسه می کنیم. یکی از این روش ها معادله ی ماتریسی مورد نظر را با پیچیدگی محاسباتی از مرتبه حل می کند. در نهایت چند مثال عددی ارایه شده و همچنین به کاربردی از معادله ی ماتریسی سیلوستر تعمیم یافته در حل یک مساله ی تصمیم می پردازیم.