چکیده هدف از این رساله بررسی ابرجبرها و ابرجبرهای فازی می باشد. در این راستا ضمن مرور خواص ابرجبرها، به معرفی ابرجبرهای فازی در دو دیدگاه می پردازیم. در یک دیدگاه ابرجبر فازی را تعمیم جبرفازی در نظر گرفته و ارتباط این ابرجبرها را با ابرجبرهای معمولی بررسی می کنیم و در دیدگاه دوم به کمک تعریف فازی ابرعمل، فازی ابرجبر را معرفی و سپس نتایجی در ارتباط با زیر فازی ابرجبرها، روابط منظم فازی (قوی)، توابع ترم و حاصلضرب فازی ابرجبرها به دست می آوریم و در خاتمه رابطه اساسی را برای فازی ابرجبرها معرفی و نتایجی اساسی در مورد آن به دست می آوریم.

نظریه مجموعه های راف در سال $1982$ توسط پاولاک ltrfootnote{pawlak} معرفی شد cite{pawlak}. تاکنون انواع مختلفی از تعمیم های مجموعه های راف از جمله مجموعه های تعریف پذیر خارجی ارائه شده است cite{chem}. اخیرا نوع جدیدی از مجموعه های راف تعمیم یافته به نام مجموعه های تعریف پذیر شبه خارجی معرفی و برخی از ویژگی های مهم آنها بررسی شده است cite{chem,jinjin li}. همچنین با استفاده از تقریب های پایینی و بالایی یک مجموعه نسبت به یک زیرگروه نرمال، انواع مختلفی از گراف های کیلی راف و شبه کیلی راف معرفی شده است cite{davvaz}. در این پایان نامه، بر اساس مجموعه های تعریف پذیر خارجی و شبه خارجی، محک هایی برای تعیین دو بخشی یا همبند بودن یک گراف ارائه می شود. همچنین ویژگی های مهم گراف های کیلی راف و شبه کیلی راف مورد بررسی قرار می گیرد.